Question

【題目】一個半徑為和，重量為，可繞軸轉動的滑輪通過一個固定在墻上可轉動的叉子支撐，其中，，如圖所示．繩索在滑輪較小半徑的軸肩上纏繞了一圈，繩索右端用重力加載，滑輪與墻之間以及滑輪與繩之間的摩擦因數相同，靜摩擦因數為，動摩擦因數為．試問：

（1）如果要使重物懸起，左邊繩子在的情況下，至少要施加多大力？

（2）如果要使重物緩慢升起，左邊繩子在時需用多大為？

（3）在什么角度下，提升重物所需的拉力最小；其值為多大？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 因此，在滑輪開始轉動前，所需的最小拉力為;在滑輪進入滑動之后，最小拉力為

【解析】

(1)首先分析滑輪是繞著軸轉動還是處于自鎖狀態．如果滑輪處于自鎖狀態，則一個任意大小的外力作用在滑輪上（在繩子不滑動的情況下）都能使滑輪保持平衡．自鎖時滑輪不能順時針轉動，下圖畫出了滑輪的受力分析，根據平衡條件

， ①

， ②

， ③

④

聯立式①～④，可得 ⑤

由于

因此，只要當時滑輪不會沿順時針方向轉動．此時，拉力必須由繩索的摩擦方程來計算，即

⑥

（2）同樣的，首先判斷滑輪是否會由于自鎖而逆時針方向轉動受到阻止．此時，應將式①～③中前添加負號即可，解得

⑦

⑧

由于

且可見式⑧恒成立.

只要當時滑輪逆時針轉動受到阻止．此時，要提起重物必須依靠繩索在滑輪上的滑動

根據繩索的摩擦方程，在繩開始滑動前，拉力為

⑨

繩索滑動后，則為 ⑩

（3）為了提升重物，必有．此時，在任意的角度，根據平衡條件，有

，

，

，．

在滑輪沒有轉動的情況下，即

聯立式及，可得

為了分析方便，令

當角度為時并未超出滑輪的自鎖極限，由此有

由此，可解得

在情況下，滑輪可能轉動并提起重物，因此需要確定滑輪發生轉動時的臨界角．此時，式應取等號，并聯立式⑩和式求得臨界角，即

當時，滑輪轉動并提起重物

為了求繩索拉力的最小值，根據式可知

考慮到，當時，取到最大值．于是，有

因此，在滑輪開始轉動前，為克服滑輪與墻之間的靜摩擦力，所需的最小拉力為

在滑輪進入滑動之后，為克服滑動摩擦力所需的最小拉力為

下面，可以驗證，滑輪轉動比滑輪自鎖時提取重物所需的拉力要小，當滑輪自鎖時，提升重物只能依靠繩索在滑輪軸肩上的滑動來實現.

當滑輪自鎖時，繩索滑動前，繩索的拉力根據式⑩，有

．

當滑輪自鎖時，繩索滑動后，繩索拉力根據式，有

顯然，式與式就是所要求的最小拉力