Question

甲、乙、丙三個(gè)物體用不可伸長(zhǎng)的輕線通過(guò)輕滑輪連接，甲與地面用輕彈簧連接，如圖所示．物體乙與物塊丙之間的距離和物體丙到地面的距離相等．已知物體乙與物塊丙的質(zhì)量均為m，物體甲的質(zhì)量大于m，但是小于2m；彈簧的勁度系數(shù)為k．物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)與滑輪相碰，且不計(jì)一切阻力，物體碰地后不反彈．
（1）若將乙與丙間的線剪斷，甲下降多大距離時(shí)它的速度最大？
（2）若將彈簧剪斷后，要保證物塊乙在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)著地，求這種情形之下甲物體的質(zhì)量等于多少？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)剪斷輕線，甲向下先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)，加速度為零時(shí)速度達(dá)到最大，根據(jù)胡克定律求出開(kāi)始時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量和速度最大時(shí)壓縮量，兩者之和等于甲下降的高度；
（2）將彈簧剪斷后，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．對(duì)于甲乙丙三物體組成系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒求出丙著地時(shí)甲乙的速度；若乙恰能著地，此時(shí)甲、乙物體速度為零，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解甲的質(zhì)量．

解答：解：（1）設(shè)甲物體質(zhì)量為M，開(kāi)始時(shí)彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，其伸長(zhǎng)量x₁
  k x₁=（2m-M）g
得，x₁=

2m-M

k

g       
剪斷輕線，甲的加速度為零時(shí)，速度達(dá)最大
設(shè)此時(shí)彈簧壓縮量x₂
k x₂=（ M-m）g 
得，x₂=

M-m

k

g   
所以，甲速度最大時(shí)，下降的距離x=x₁+x₂=

mg

k

（2）設(shè)丙距離地面為L(zhǎng)，丙剛好落地時(shí)，甲、乙的速度為v
對(duì)于甲乙丙三物體組成系統(tǒng)，機(jī)械能守恒
  2mgL-MgL=

1

2

(M+2m)v2
若乙恰能著地，此時(shí)甲、乙物體速度為零
對(duì)甲乙兩物體組成系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒
有：MgL-mgL=

1

2

(M+m)v2
由上兩式得：M=

2

m
∴當(dāng)2m＞M＞

2

m時(shí)，乙物體將不會(huì)著地．
答：（1）若將乙與丙間的線剪斷，甲下降

mg

k

距離時(shí)它的速度最大；
（2）若將彈簧剪斷后，要保證物塊乙在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)著地，求這種情形之下甲物體的質(zhì)量應(yīng)滿足：2m＞M＞

2

m．

點(diǎn)評(píng)：第1題關(guān)鍵要根據(jù)胡克定律研究出甲下降的高度與彈簧形變量的關(guān)系．第2題，要分兩個(gè)過(guò)程研究甲的質(zhì)量．