Question

【題目】如圖所示，虛線圓的半徑為R，AC為光滑豎直桿，AB與BC構(gòu)成直角的L形軌道，小球與AB、BC軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，A、B、C三點(diǎn)正好是圓上三點(diǎn)，而AC正好為該圓的直徑，AB與AC的夾角為α.如果套在AC桿上的小球自A點(diǎn)靜止釋放，分別沿ABC軌道和AC直軌道運(yùn)動(dòng)，忽略小球滑過(guò)B處時(shí)的能量損耗.求：

(1)小球在AB軌道上運(yùn)動(dòng)的加速度；

(2)小球沿ABC軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速率；

(3)若AB、BC、AC軌道均光滑，如果沿ABC軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間與沿AC直軌道運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間之比為5∶3，求α的正切值.

Answer 1

【答案】(1)gcosα－μgsinα (2)2 (3)2.4

【解析】(1)從A到B，由牛頓第二定律得：

mgcosα－μmgsinα＝ma

解得：a＝gcosα－μgsinα

(2)小球沿ABC軌道運(yùn)動(dòng)，從A到C，由動(dòng)能定理可得：mv＝mg·2R－2μmg·2Rcosαsinα

解得：vC＝2

(3)設(shè)小球沿AC直導(dǎo)軌做自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有：2R＝gt2

解得：t＝2

軌道均光滑，小球由A到B機(jī)械能守恒，設(shè)B點(diǎn)的速度為vB，則有：

mg·2Rcos2α＝mv

解得：vB＝2cosα

且依等時(shí)圓，tAB＝t，則B到C的時(shí)間為：

tBC＝t－t＝t＝

以后沿BC直導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的加速度為：

a′＝gsinα，且BC＝2Rsinα

故2Rsinα＝vBtBC＋a′t

代入數(shù)據(jù)得：tanα＝2.4.