Question

1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如下圖（甲）所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì)。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直。A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q，初速度為0，在加速器中被加速，加速電壓為U。加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用。

（1）求粒子第1次和第2次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；

（2）求粒子從靜止開(kāi)始加速到出口處所需的時(shí)間t和粒子獲得的最大動(dòng)能E_km；

（3）近年來(lái)，大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合。例如由直線加速器做為預(yù)加速器，獲得中間能量，再注入回旋加速器獲得最終能量。n個(gè)長(zhǎng)度逐個(gè)增大的金屬圓筒和一個(gè)靶，它們沿軸線排列成一串，如圖（乙）所示（圖中只畫(huà)出了六個(gè)圓筒，作為示意)。各筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端。整個(gè)裝置放在高真空容器中。圓筒的兩底面中心開(kāi)有小孔。現(xiàn)有一電量為q、質(zhì)量為m的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間的縫隙處受到電場(chǎng)力的作用而加速（設(shè)圓筒內(nèi)部沒(méi)有電場(chǎng)）。縫隙的寬度很小，離子穿過(guò)縫隙的時(shí)間可以不計(jì)。已知離子進(jìn)入第一個(gè)圓筒左端的速度為v₁，且此時(shí)第一、二兩個(gè)圓筒間的電勢(shì)差₁－₂=－U。為為使打到靶上的離子獲得最大能量，各個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量。

Answer 1

（1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁，     qU=mv₁²      （1分）

qv₁B=m     （1分）                  解得： 

同理，粒子第2次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑則r₁:r₂  =1:         （2分）

（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期，被電場(chǎng)加速兩次。設(shè)粒子到出口處被加速了n次，

 nqU=     （2分）qv_mB=m　　得v_m=   （2分）

解得n=  帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為 則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t==  （2分）所以，粒子獲得的最大動(dòng)能E_km＝＝       （2分）

（3）為使正離子獲得最大能量，要求離子每次穿越縫隙時(shí)，前一個(gè)圓筒的電勢(shì)比后一個(gè)圓筒的電勢(shì)高U，這就要求離子穿過(guò)每個(gè)圓筒的時(shí)間都恰好等于交流電的半個(gè)周期。由于圓筒內(nèi)無(wú)電場(chǎng)，離子在筒內(nèi)做勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)v_n為離子在第n個(gè)圓筒內(nèi)的速度，則有

第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度為                （2分）

     

第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿(mǎn)足的條件為 （n=1，2，3，…2）（2分）

打到靶上的離子的能量為　（n=1，2，3，……）　（3分）