Question

【題目】如圖所示，水平地面上左側有一質量為2m的四分之一光滑圓弧斜槽C，斜槽末端切線水平，右側有一質量為3m的帶擋板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板與地面的動摩擦因數為0.25，斜槽末端和木板左端平滑過渡但不粘連。某時刻，一質量為m的可視為質點的光滑小球A從斜槽頂端靜止滾下，重力加速度為g，求:

(1)若光滑圓弧斜槽C不固定，圓弧半徑為R且不計斜槽C與地面的摩擦，求小球滾動到斜槽末端時斜槽的動能?

(2)若斜槽C固定在地面上，小球從斜槽末端滾上木板左端時的速度為v0，小球滾上木板的同時，外界給木板施加大小為v0的水平向右初速度，并且同時分別在小球上和木板上施加水平向右的恒力F1與F2，且F1=F2=0.5mg。當小球運動到木板右端時(與擋板碰前的瞬間)，木板的速度剛好減為零，之后小球與木板的擋板發生第1次相碰，以后會發生多次碰撞。已知小球與擋板都是彈性碰撞且碰撞時間極短，小球始終在木板上運動。求:

①小球與擋板第1次碰撞后的瞬間，木板的速度大小。

②小球與擋板第1次碰撞后至第10次碰撞后瞬間的過程中F1與F2做功之和。

Answer 1

【答案】（1）（2）①2v0②

【解析】

（1）由題可知，設小球滾到斜槽末端時，A與C的速度大小分別為vA、vC。A與C系統水平方向動量守恒，取水平向右為正方向，則

A與C系統的機械能守恒，則

小球滾動到斜槽末端時斜槽的動能

解得

（2）①小球滾到木板上后，小球與木板的加速度大小分別為a1和a2。則

木板開始運動到速度第一減為零的時間為

小球第一次與擋板碰撞前瞬間的速度為

另設小球與擋板第1次碰撞后的瞬間，小球與木板的速度分別為vA1、vB1，取向右為正方向，A與B動量守恒，則得

A與B系統的總動能不變，則

解得

vA1=-2v0，vB1=2v0

②由題可知，第1次碰撞后，小球以2v0沿木板向左勻減速運動再反向勻加速，木板以2v0向右勻減速運動（兩者v-t圖象如圖所示），木板速度再次減為零的時間

小球的速度

此時，小球的位移

木板的位移

即小球、木板第2次相碰前瞬間的速度與第1次相碰前瞬間的速度相同，以后小球、木板重復前面的運動過程。則第1次碰撞后與第10次碰撞后瞬間，小球與木板總位移相同，都為

由此過程F1與F2做功之和

解得

答：（1）（2）①2v0②