Question

（25分）磁懸浮列車是一種高速運載工具。它具有兩個重要系統。一是懸浮系統，利用磁力（可由超導電磁鐵提供）使車體在導軌上懸浮起來與軌道脫離接觸。另一是驅動系統，在沿軌道上安裝的三相繞組（線圈）中，通上三相交流電，產生隨時間、空間作周期性變化的磁場，磁場與固連在車體下端的感應金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。

    為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由，我們求解下面的問題。

    設有一與軌道平面垂直的磁場，磁感應強度B隨時間t和空間位置x變化規律為

                          

式中、、均為已知常量，坐標軸x與軌道平行。在任一時刻t，軌道平面上磁場沿x方向的分布是不均勻的，如圖所示。圖中Oxy平面代表軌道平面，“×”表示磁場的方向垂直Oxy平面指向紙里，“· ”表示磁場的方向垂直Oxy平面指向紙外。規定指向紙外時B取正值。“×”和“· ”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長度為，與軌道平行的金屬框邊MQ的長度為d，金屬框的電阻為R，不計金屬框的電感。1．試求在時刻t，當金屬框的MN邊位于x處時磁場作用于金屬框的安培力，設此時刻金屬框沿x軸正方向移動的速度為。

2.試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關系。

Answer 1

參考解答：

1．題給的磁場隨時間和空間的變化具有周期性，在某時刻，磁場的空間分布為

       

在時刻，磁場的空間分布為

               

比較上面兩式，不難看出，和這兩個時刻的磁場的空間分布規律是相同的，只是時刻原位于處的磁場，經歷時間，在時刻，出現在處．即整個磁場的分布經時間間隔沿x軸的正方向平移了一段距離

       

平移速度

               （1）

平移速度為恒量．由此可見，題給出的磁場可視為一在空間按余弦規律分布的非均勻磁場區域以速度沿x軸的正方向平移．如果金屬框移動的速度小于磁場區域平移的速度，那么通過金屬框的磁通將隨時間發生變化，從而在金屬框中產生感應電流，感應電流將受到磁場的安培力作用．

由題已知，在時刻t，金屬框移動的速度為，金屬框MN邊位于坐標x處，PQ邊位于坐標處．設此時金屬框的磁通為（規定由紙內到紙外為正）；經過一很短的時間間隔，整個磁場分布區域向x方向移動了一段距離，金屬框向x方向移動了一段距離，其結果是：MN邊左側穿過面積為的磁通移進了金屬框，PQ邊左側穿過面積為的磁通移出了金屬框，故在時刻，通過金屬框的磁通為

       

在時間間隔內，通過金屬框的磁通增量為

               （2）

規定框內的感應電動勢沿順時針方向（沿回路MNPQM方向)為正，由電磁感應定律，可得t時刻的感應電動勢

               （3）

規定金屬框內的感應電流沿順時針方向（沿回路MNPQM方向)為正，可得t時刻的感應電流為

               (4)

磁場對于上下兩邊NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力為零．規定向右的力為正，則磁場作用于金屬框MN邊的安培力為；由于PQ邊和MN邊的電流方向相反，磁場作用于金屬框PQ邊的安培力為 ，故金屬框的安培力的合力

               （5）

由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式及題給定的磁場分布規律，得

               （6）

利用三角學公式，得

               （7）

       

稱為安培力的幅度．從（7）式可以看出，安培力在的幅度內隨時間變化，但其值不會小于零，表示磁場作用于金屬框的安培力始終向右．

2．討論安培力的大小與線框幾何尺寸的關系就是討論與線框幾何尺寸的關系．與金屬框長度l的平方成正比，與金屬框的寬度d有關：

當， 即        

                     （8）

得        

               （9）

當，即

               （10）

達最大值        

               （11）

               

當d取其它值時，介于0與最大值之間．

評分標準： 

本題25分．