Question

如圖所示，足夠長的光滑平行金屬導軌，相距上，導軌平面與水平面夾角為θ，勻強磁場垂直于導軌平面，已知磁感應強度為B，平行導軌的上端連接一個阻值為R的電阻．一根質量為m，電阻為

1

2

R的金屬棒oA垂直于導軌放置在導軌上，金屬棒從靜止開始沿導軌下滑．
（1）畫出ab在滑行過程中的受力示意圖．
（2）ab棒滑行的最大速度v_m=？
（3）若ab棒從靜止開始沿斜面下滑距離s時，棒剛好達到最大速度，求棒從開始下滑到最大速度過程中，電阻R上產生的熱量Q_R=？

Answer 1

分析：（1）先定性分析ab的受力情況，再畫出受力示意圖．
（2）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達到最大．由歐姆定律、感應電動勢和安培力公式推導出安培力的表達式，根據平衡條件求解最大速度．
（3）金屬棒由靜止開始下滑s的過程中，重力和安培力對棒做功，棒的重力勢能減小轉化為棒的動能和電路的內能，根據能量守恒列式可求出整個電路中產生的總電熱．

解答：解：（1）ab在滑行過程中的受力示意圖如圖，受到的力有重力mg、支持力N和安培力F．
（2）當d0桿受到的合力為零時，有最大速度，設金屬棒ab中的電動勢為E，電流為I，則有：
E=BLV_m
受到的安培力為：F=BIL
由歐姆定律可得電流為：I=

E

3 2 R

由平衡條件得：F=mgsinθ…①
聯立得：

B2L2vm

3 2 R

=mgsinθ…②
解得：vm=

3Rmgsinθ

2B2L2

…③
（3）設從靜止開始到速度最大的過程中，產生的總熱量為Q，根據能量守恒有：
mgsinθ-

1

2

m

v

2 m

=Q…④
根據P=I²R有：QR=

2

3

Q…⑤
解得：QR=

2

3

mgssinθ-

3R2m3g2sin2θ

4B4L4

…⑥
或QR=

2

3

(mgssinθ-

9R2m3g2sin2θ

8B4L4

)
答：（1）畫出ab在滑行過程中的受力示意圖如圖所示．
（2）ab棒滑行的最大速度vm=

3Rmgsinθ

2B2L2

．
（3）若ab棒從靜止開始沿斜面下滑距離s時，棒剛好達到最大速度，求棒從開始下滑到最大速度過程中，電阻R上產生的熱量QR=

2

3

(mgssinθ-

9R2m3g2sin2θ

8B4L4

)．

點評：本題考查了電路知識、電磁感應和力學知識，分析和計算安培力和能量如何轉化是兩個關鍵．