Question

如圖甲所示，PQNM是表面粗糙的絕緣斜面，abcd是質量m=0.5 kg、總電阻R=0.5 Ω、邊長L=0.5 m的正方形金屬線框，線框的匝數N=10.將線框放在斜面上，使斜面的傾角θ由0°開始緩慢增大，當θ增大到37°時，線框即將沿斜面下滑.現保證斜面的傾角θ=37°，在OO′NM的區域加上垂直斜面方向的勻強磁場，使線框的一半處于磁場中，磁場的磁感應強度B隨時間t變化的圖像如圖乙示.

(1)試根據圖乙求出B隨時間t變化的函數關系式；

(2)在t=0時刻線框是否會沿斜面運動?若要運動，請說出理由，若不運動，請求出從t=0時刻開始經多長時間線框發生運動?(g取10 m／s²，sin37°=0.6)

Answer 1

解：(1)由圖乙所示圖線可知：B=B₀+kt

B₀=0.2 T，k=(0.6-0.2)／1=0.4(T／s)

所以B=0.2+0.4t(T)                ①

(2)無論磁場方向垂直斜面向上還是向下，由楞決定律可知，當穿過線框的磁通量增大時，線框處于磁場中的各條邊受到的安培力方向均垂直于各邊向內，所以ad和bc邊受到的安培力平衡,cd邊受到的安培力沿斜面向上

不加磁場，由題意知，當θ=37°時，線框即將沿斜面下滑，此時斜面對線框的靜摩擦力恰好達到最大值f_max由平衡條件有f_max=mgsinθ=0.6 mg=3 N

加磁場后，由于壓力不變，故f_max的大小不變

由法拉第電磁感應定律有E=NΔφ/Δt=NkL²／2=0.5 V

I=E／R=1 A

在t=0時刻cd邊受到的安培力F₀=NILB₀=1 N

由于F₀+f_max＞mgsinθ，F₀＜mgsinθ+f_max

所以在t=0時刻線框既不會沿斜面下滑，也不會沿斜面上滑

當摩擦力方向沿斜面向下達到最大值時，線框即將沿斜面向上運動，此時線框受力如圖所示

由平衡條件有NILB=mgsinθ+f_max

=1.2mg=6 N       ②

由②式得B=1.2 T

代人①式解得經歷時間為t=2.5 s