Question

（2005?宿遷三模）偵察衛(wèi)星在通過(guò)地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h，已知地球半徑為R，地面表面處的重力加速度為g，地球的自轉(zhuǎn)周期為T(mén)．
（1）試求該衛(wèi)星的運(yùn)行速度；
（2）要使衛(wèi)星在一天內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部拍下來(lái)，衛(wèi)星在通過(guò)赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)S是多少？

Answer 1

分析：（1）同步衛(wèi)星和地球同步，其周期為地球自轉(zhuǎn)的周期，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力及萬(wàn)有引力和向心力的公式中的周期公式即可求解；
（2）攝像機(jī)只要將地球的赤道拍攝全，便能將地面各處全部拍攝下來(lái)；
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力求出衛(wèi)星周期．
由地球自轉(zhuǎn)角速度求出衛(wèi)星繞行地球一周的時(shí)間內(nèi)，地球轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)與圓心角的關(guān)系求解．

解答：解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星在運(yùn)行時(shí)，
由萬(wàn)有引力提供向心力：G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

…①
設(shè)地球表面有個(gè)質(zhì)量為m₀的物體，則：m₀g=G

Mm0

R2

…②
由①②式聯(lián)立，衛(wèi)星的運(yùn)行速度為：v=

R

R+h

g(R+h)

…③
（2）設(shè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)′，由萬(wàn)有引力提供向心力，
則：G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T′

)2(R+h)…④
由②④兩式，得：T′=

2π

R

(R+h)3 g

…⑤
一天內(nèi)偵察衛(wèi)星經(jīng)過(guò)有日照的赤道上空次數(shù)為：N=

T

T′

…⑥
攝像機(jī)每次應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)為：S=

2πR

N

…⑦
由⑤⑥⑦式，得：S=

4π2

T

(R+h)3 g

答：（1）該衛(wèi)星的運(yùn)行速度是v=

R

R+h

g(R+h)

；
（2）衛(wèi)星上的攝像機(jī)應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)S是

4π2

T

(R+h)3 g

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用物理知識(shí)分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運(yùn)用萬(wàn)有引力等于向心力研究．