Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態時其右端位于B點．水平桌面右側某一位置有一豎直放置的、左上角有一開口的光滑圓弧軌道MNP，其半徑為R=0.5m，∠PON=53°，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離是h=0.8m．如用質量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊恰停止在桌面邊緣D點．現換用同種材料制成的質量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊能飛離桌面并恰好由P點沿切線滑入光滑圓軌道MNP（g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．
（1）求物體m₂運動到M點時受到軌道的壓力；
（2）求彈簧的彈性勢能E_P；
（3）如圓弧軌道的位置以及∠PON可任意調節，使從C點釋放又從D點滑出的質量為m=km₁物塊都能由P點沿切線滑入圓弧軌道，并且還能通過最高點M，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）物體恰好無碰撞落到P點，其豎直分速度可以根據落體規律求解，然后根據速度偏轉角求解水平分速度并得到P點速度，然后根據機械能守恒定律求解M點速度；
（2）對釋放兩個滑塊過程分別運用動能定理列式（由C到D過程），聯立方程組求解；
（3）先根據C到D過程機械能守恒列式，再根據D到M過程機械能守恒列式，能過最高點列式，最后聯立方程組求解即可．

解答：解析：（1）設物塊由D點以初速v_D做平拋，落到P點時其豎直速度為vy=

2gh

=4m/s
由于

vy

vD

=tan53°，解得v_D=3m/s
若物塊到達M點速度為v_M，有vP=

v 2 D + v 2 y

=5m/s
P到M過程，機械能守恒

1

2

m2

v

2 M

+mg1.6R=

1

2

m2

v

2 P

解得：v_M=3m/s
軌道對物塊的壓力為F_N，則FN+m2g=m2

v 2 M

R

解得F_N=1.6N
（2）設彈簧長為AC時的彈性勢能為E_P，物塊與桌面間的動摩擦因數為μ，
釋放m₁時，E_P=μm₁gS_CD
釋放m₂時，EP-μm2gSCD=

1

2

m2

v

2 D

聯立解得：EP=m2

v

2 D

=1.8J
（3）設質量為km₁的物塊，到M點的最小速度為v，km1g=km1

v2

R

解得v=

gR

由機械能守恒定律，得到
EP-μkm1gSCD=

1

2

km1

v

2 D

能通過最高點
vD≥

gR

機械能守恒
EP(1-k)≥

1

2

km1gR
解得
1.8（1-k）≥k
即0＜k≤

9

14

答：（1）物體m₂運動到M點時受到軌道的壓力為1.6N；
（2）求彈簧的彈性勢能為1.8J；
（3）k的取值范圍為0＜k≤

9

14

．

點評：本題關鍵要分析清楚物體的運動規律，然后多次運用機械能守恒定律列式，最后聯立方程組求解即可．