Question

如圖甲所示，“月”字形軌道的每一短邊的長度都等于a，只有三根平行的短邊有電阻，阻值都是r，不計其它各邊電阻．使導軌平面與水平面成夾角θ固定放置，如圖乙所示．一根質量為m的條形磁鐵，其橫截面是邊長為a的正方形，磁鐵與導軌間的摩擦不計，磁鐵與導軌間絕緣．假定導軌區域內的磁場全部集中在磁鐵的端面，并可近似為勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直導軌平面．開始時讓磁鐵從軌道上某一位置由靜止下滑，使磁鐵恰能勻速進入正方形2．在磁鐵從開始運動到其端面與正方形1重合的過程中，求：（已知重力加速度為g）
（1）磁鐵下滑時離正方形2上邊的距離S；
（2）上述過程中通過MN邊的感應電荷量q；
（3）上述過程中所有電阻產生的熱量Q．

Answer 1

分析：（1）磁鐵勻速進入正方形2過程，線框2產生感應電動勢，畫出等效電路圖，由法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力公式求出切割磁感線受到的安培力，由牛頓第三定律得到磁鐵所受的安培力．由于磁鐵勻速運動，受力平衡，由平衡條件列式，求出磁鐵勻速運動的速度，即可由運動學公式求出S．
（2）當磁鐵進入正方形1時，仍以速度v做勻速直線運動，由運動學公式求出整個過程磁鐵運動經歷的時間t．根據平衡條件求出感應電流I，電量為q=

1

2

It．
（3）根據能量守恒求所有電阻產生的熱量Q．

解答：解：（1）設磁鐵勻速進入正方形2的速度為v，等效電路如圖所示．
感應電動勢：E=Bav
總電阻：R=r+

r

2

=

3

2

r
感應電流：I=

E

R

=

2Bav

3r

切割磁感線的短邊受到的安培力：F=BIa=

2B2a2v

3r

短邊受到的安培力與磁鐵受到的力是作用力與反作用力．
根據平衡條件得：mgsinθ=F
聯立①-⑤解得：v=

3mgrsinθ

2B2a2

由機械能守恒：mgssinθ=

1

2

mv2
解得：s=

9m2gr2sinθ

8B4a4

（2）解法一：當磁鐵進入正方形1時，仍以速度v做勻速直線運動．
整個過程磁鐵運動經歷的時間：t=

2a

v

解得：t=

4B2a3

3mgrsinθ

根據平衡條件得：mgsinθ=BIa
解得：I=

mgsinθ

Ba

則通過MN邊的感應電荷量：q=

1

2

It=

2Ba2

3r

解法二：磁鐵剛好全部進入正方形2時，通過閉合回路的總的感應電荷量為：q′=It1=

Ba2

R

=

2Ba2

3r

此過程通過MN的感應電荷量是：q1=

1

2

q′=

Ba2

3r

磁鐵從正方形2全部進入正方形1的過程，同理可得：q2=

1

2

q′=

Ba2

3r

∴q=q1+q2=

2Ba2

3r

（3）根據能量守恒定律得：Q=2mgasinθ    
答：（1）磁鐵下滑時離正方形2上邊的距離S為

9m2gr2sinθ

8B4a4

；
（2）上述過程中通過MN邊的感應電荷量q為

2Ba2

3r

；
（3）上述過程中所有電阻產生的熱量Q為2mgasinθ．

點評：本題打破常規，是磁鐵運動，導體不動，仍然運用電磁感應的基本規律：法拉第定律、歐姆定律、安培力公式，結合平衡條件和能量守恒進行求解．