Question

“翻滾過山車”的物理原理可以用如圖所示裝置演示．光滑斜槽軌道AD與半徑為R=0.1m的豎直圓軌道（圓心為O）相連，AD與圓O相切于D點(diǎn)，B為軌道的最低點(diǎn)，∠DOB=37°．質(zhì)量為m=0.1kg的小球從距D點(diǎn)L=1.3m處靜止開始下滑，然后沖上光滑的圓形軌道（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．
求：（1）小球在光滑斜槽軌道上運(yùn)動和加速度的大小；
（2）小球通過B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小；
（3）試分析小球能否通過豎直圓軌道的最高點(diǎn)C，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律列式即可求出小球在光滑斜槽上運(yùn)動的加速度．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解出B點(diǎn)的速度，在B點(diǎn)，根據(jù)重力和支持力的合力提供向心力列式求解；
（3）先求出小球能到最高點(diǎn)的臨界速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解實(shí)際速度進(jìn)行比較即可判斷．

解答：解：（1）由牛頓第二定律F=ma可知：
  mgsin37°=ma…①
故a=gsin37°=6m/s²
（2）小球由A到B的過程中只有重力做功，符合機(jī)械能守恒．選B點(diǎn)為重力勢能的零點(diǎn)，即
  mg（Lsin37°+h_DB）=

1

2

m

v

2 B

…②
其中h_DB=R（1-cos37°）…③
在B處，由牛頓第二定律F=ma
即N_B-mg=m

v 2 B

R

…④
聯(lián)立②③④可得N_B=mg+m

2g[Lsin37°+R(1-cos37°)]

R

…⑤
將已知條件代入上式得N_B=17N
由牛頓第三定律可知：小球通過B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為17N．
（3）小球在豎直平面由沿軌道做圓周運(yùn)動，通過最高點(diǎn)的最小速度設(shè)為v₀
則有mg=m

v 2 0

R

得 v₀=

gR

=1m/s…⑥
小球從A點(diǎn)由靜止開始滑下到達(dá)最高點(diǎn)C，此過程只有重力對小球做功，故機(jī)械能守恒．選C點(diǎn)為重力勢能的零點(diǎn)，
則有mg[Lsin37°-R（1+cos37°）]=

1

2

m

v

2 C

…⑤
求得v_C=

12

m/s＞v₀
所以小球能通過軌道最高點(diǎn)C．
答：
（1）小球在光滑斜槽軌道上運(yùn)動和加速度的大小為6m/s²．
（2）小球通過B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的大小為17N；
（3）小球能通過豎直圓軌道的最高點(diǎn)C．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是對小球的運(yùn)動過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求解不同位置的速度，同時(shí)要結(jié)合牛頓第二定律列式判斷．