Question

如圖所示，物體B和物體C用勁度系數為k的輕彈簧連接并豎直地靜置于水平地面上．將一個物體A從物體B的正上方距離B的高度為H₀處由靜止釋放，下落后與物體B碰撞，碰撞后A與B粘合在一起并立刻向下運動，在以后的運動中A、B不再分離．已知物體A、B、C的質量均為M，重力加速度為g，忽略空氣阻力．
（1）求A與B碰撞后瞬間的速度大小．
（2）A和B一起運動達到最大速度時，物體C對水平地面的壓力為多大？
（3）開始時，物體A從距B多大的高度自由落下時，在以后的運動中才能使物體C恰好離開地面？

Answer 1

（1）設物體A碰前速度為v₁，對物體A從H₀高度處自由下落，
由機械能守恒定律得：MgH₀=

1

2

Mv₁²，解得：v₁=

2gH0

．
設A、B碰撞后共同速度為v₂，則由動量守恒定律得：
Mv₁=2Mv₂，v₂=

gH0 2

．
（2）當A、B達到最大速度時，A、B所受合外力為零，設此時彈力為F，對A、B由平衡條件得，F=2Mg．
設地面對C的支持力為N，對ABC整體，因加速度為零，所以N=3Mg．
由牛頓第三定律得C對地面的壓力大小為N′=3Mg．
（3）設物體A從距B的高度H處自由落下，根據（1）的結果，
A、B碰撞后共同速度v₂=

gH 2

．
當C剛好離開地面時，由胡克定律得彈簧伸長量為X=

Mg

k

．
根據對稱性，當A、B一起上升到彈簧伸長為X時彈簧的勢能與A、B碰撞后瞬間的勢能相等．
則對A、B一起運動到C剛好離開地面的過程中，由機械能守恒得：

1

2

×2Mv₂²=4MgX，
聯立以上方程解得：H=

8Mg

k

．
答：（1）A與B碰撞后瞬間的速度大小為

2gH0

．
（2）A和B一起運動達到最大速度時，物體C對水平地面的壓力為3Mg．
（3）開始時，物體A從距B

8Mg

k

的高度自由落下時，在以后的運動中才能使物體C恰好離開地面．