Question

（2007?揚州模擬）有人設想在地球赤道上垂直于地球表面豎起一根剛性的長桿，桿子的長度是地球半徑的若干倍．長桿隨地球一起自轉．在長桿上距地面高度為h=R（R為地球半徑）處，懸掛一個擺長為L，質量為m的單擺（L遠遠小于R）．設地球半徑R、地球表面的重力加速度g地球的自轉周期T₀均為已知，
（1）懸掛單擺處隨地球自轉的向心加速度多大？
（2）該單擺的振動周期為多少？
（3）單擺懸掛于長桿上距地球表面的高度H為多高處，單擺就無法振動？

Answer 1

分析：（1）由于長桿隨地球一起自轉，與地球自轉角速度相同，h=R處的向心加速度用公式a=ωr計算即可．
（2）h=R處的重力加速度就等于萬有引力產生的加速度減去物體隨地球自轉時的向心加速度．先計算出萬有引力產生的加速度g′=

GM

4R2

，所以h=R處的重力加速度g″=g′-a₁，
再根據單擺周期公式T=2π

l g″

求出振動周期．
（3）在地球的同步衛星軌道上引力加速度就是隨地球自轉的向心加速度．所以同步衛星軌道上的重力加速度g″=g′-a₁=0，即單擺在地球同步衛星軌道上無法振動．
根據萬有引力提供向心力G

Mm

(R+H)2

=m(

2π

T0

)2(R+H)，化簡可得H的值．

解答：解：（1）由于長桿隨地球一起自轉，與地球自轉角速度相同，h=R處的向心加速度應為
a1=ω 2?2R=(

2π

T

)2?2R=

8π2R

T02

（2）h=R處的重力加速度就等于萬有引力產生的加速度減去物體隨地球自轉時的向心加速度．
萬有引力產生的加速度g′=

GM

4R2

=

gR2

4R2

=

g

4

所以h=R處的重力加速度g″=g′-a1=

g

4

-

8π2R

T02

由單擺周期公式求出振動周期T=2π

l g 4 - 8π2R T02

（3）在地球的同步衛星軌道上引力加速度就是隨地球自轉的向心加速度．
則同步衛星軌道上的重力加速度g″=g′-a₁=0．故單擺在地球同步衛星軌道上無法振動．
由G

Mm

(R+H)2

=m(

2π

T0

)2(R+H)
解得H=

3	GMT02 4π2

-R=

3	gR2T02 4π2

-R
答：（1）懸掛單擺處隨地球自轉的向心加速度為

8π2R

T02

．
（2）該單擺的振動周期為2π

l g 4 - 8π2R T02

．
（3）單擺懸掛于長桿上距地球表面的高度H為

3	gR2T02 4π2

-R處，單擺就無法振動．

點評：考查單擺周期公式，要理解單擺的周期公式的g的物理含義；不能生搬硬套公式，同時要知道同步軌道上引力加速度就是隨地球自轉的向心加速度．