Question

【題目】如圖所示，輕彈簧一端固定在與斜面垂直的擋板上，另一端點在O位置．質量為m的物塊A（可視為質點）以初速度v0從斜面的頂端P點沿斜面向下運動，與彈簧接觸后壓縮彈簧，將彈簧右端壓到O′點位置后，A又被彈簧彈回。物塊A離開彈簧后，恰好回到P點．已知OP的距離為x0，物塊A與斜面間的動摩擦因數為μ，斜面傾角為θ。求：

（1）O點和O′點間的距離x1；

（2）彈簧在最低點O′處的彈性勢能；

（3）設B的質量為βm，μ＝tanθ，v0＝3．在P點處放置一個彈性擋板，將A與另一個與A材料相同的物塊B（可視為質點與彈簧右端不拴接）并排一起，使兩根彈簧仍壓縮到O′點位置，然后從靜止釋放，若A離開B后給A外加恒力，沿斜面向上，若A不會與B發生碰撞，求β需滿足的條件？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）從A到O′，由動能定理可得

①

物塊A離開彈簧后回到P點的過程，由動能定理得

②

解得

（2）將帶入②式可得，彈簧彈力做功為

即彈簧的彈性勢能為

（3）兩物體分離的瞬間有，兩物體之間的彈力為0，由牛頓第二定律可得

解得，即彈簧恢復原長的瞬間，兩物體分離。

設分離瞬間，兩物體的速度為，由能量守恒可得

將，，帶入解得

由于，，故分離后兩物體的加速大小分別為

由此可知，分離后兩物體均做減速運動，且B的加速度大于A，故在A物體上升階段，兩物體不會碰撞；B速度減為0后，由于，故B物體會保持靜止狀態，B物體上升的位移為

若A物體與擋板碰撞前速度就減為0，則此后A物體保持靜止狀態，兩物體一定不會碰撞；若A物體能與擋板相碰，當物體A與擋板碰撞后，繼續以加速度向下做減速運動， 直到速度減為0，保持靜止；

A物體速度減為0的總路程為

若A物體不與擋板碰撞，則

解得

若A物體能與擋板碰撞，則兩物體不相撞的條件為A物體速度減為0時不與B物體相撞，即

且

解得

由于，故

綜上所述，的取值范圍為