Question

如圖所示，豎直放置的平行金屬板M和N，它們的中央各有一個小孔O₁、O₂，上端接有阻值為2R的電阻，下端分別與豎直放置的足夠長的光滑金屬導軌連接（金屬板及導軌電阻不計），它們間距離為L，導軌處在大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場中．金屬板M的左側有直徑為L，內壁光滑絕緣彈性圓筒，圓筒水平放置，筒內有如圖所示的勻強磁場，筒壁開有小孔a，a、O₁、O₂與圓筒軸線上點O₃在同一水平線上．現使質量為M、長度為L、電阻值為R導體棒PQ沿導軌從靜止開始下滑，下滑過程中PQ始終與導軌接觸良好．求：
（1）導體棒PQ下落的最大速度；
（2）導體棒PQ運動穩定后，一電荷量為+q，質量為ma
的粒子（重力不計）在O₁處靜止釋放，經電場加速后從小孔進入筒內，與筒壁碰撞四次后又從小孔a處出來，設碰撞過程中粒子電量不變，則筒內磁感應強度B′多大．

Answer 1

分析：（1）桿受安培力和重力之后平衡時得到最大速度，利用安培力等于重力即可求解；
（2）求出粒子進入圓筒的速度，粒子在圓筒中碰撞有兩種情況，分別都是碰撞四次，分情況求出運動半徑，然后即可求出磁場強度大小．

解答：解：（1）設桿PQ的最大速度為V，由平衡條件得：F_安=Mg…①
產生的感應電動勢：E=BLV…②
回路中的感應電流：I=

E

2R+R

…③
桿受到的安培力大小：F_安=BIL…④
聯立①②③④得：V=

3MgR

B2L2

（2）設桿PQ運動穩定后，MN兩板間的電壓為U，則：

U

E

=

2R

3R

…⑤
帶電粒子進入圓筒的速率為V₁則：qU=

1

2

mV12…⑥
在磁場中做勻速圓周運動的半徑為r   qB′V₁=m

V12

r

…⑦
聯立⑤⑥⑦得：B′=

2

r

MmgR qBL

…⑧
據題意可知，每次碰撞前后，粒子的速度大小不變，速度的方向總是沿著圓筒半徑方向，4各碰撞點與小孔a恰好將圓筒五等分，如圖：
設每段軌跡圓弧對應的圓心角為θ，由幾何關系得：
ctg

θ

2

=

r

L 2

…⑨
圖甲中的θ=π-

2π

5

…⑩
聯立⑧⑨⑩得：
B′=

4

Lctg 3π 10

MmgR qBL

或B′=

4

Ltg π 5

MmgR qBL

在圖乙中：θ=π-

4π

5

=

π

5

   
聯立⑧⑨解得：
B′=

4

Lctg π 10

MmgR qBL

，或B′=

4

Ltg 2π 5

MmgR qBL

答：（1）導體棒PQ下落的最大速度為

3MgR

B2L2

；
（2）筒內磁感應強度B′為

4

Lctg 3π 10

MmgR qBL

或

4

Ltg π 5

MmgR qBL

；或者

4

Lctg π 10

MmgR qBL

或

4

Ltg 2π 5

MmgR qBL

．

點評：粒子在磁場中運動的問題，關鍵是確定軌跡半徑；導體棒導體切割類型，是電磁感應、電路與力學知識的綜合，從力和能兩個角度研究．