Question

如圖所示，在光滑的水平地面上，質量為M=3.0kg的長木板A的左端，疊放著一個質量為m=1.0kg的小物塊B（可視為質點），處于靜止狀態，小物塊與木板之間的動摩擦因數μ=0.30．在木板A的左端正上方，用長為R=0.80m不可伸長的輕繩將質量為m=1.0kg的小球C懸于固定點O．現將小球C拉至上方與水平方向成θ=30⁰角的位置，由靜止釋放，在將繩拉直的瞬間，小球C沿繩方向的分速度立刻減為零，而沿切線方向的分速度不變．此后，小球C與B恰好發生正碰且無機械能損失．空氣阻力不計，取g=10m/s²． 求：
（1）小球運動到最低點時對細線的拉力；
（2）木板長度L至少為多大時小物塊才不會滑出木板？

Answer 1

分析：先由動能定理求出小球被拉直時的速度，然后小球沿圓周方向的速度為v₀cosθ，運用動能定理列式求出最低點速度，再根據牛頓第二定律列式求解拉力．
由動量守恒求出碰后滑塊的速度，然后由機械能守恒列方程求出L．

解答：解：（1）靜止釋放后小球做自由落體運動到B點，繩被拉緊后再繞O點向下做圓周運動，如圖所示．小球下落的高度為R而將繩拉直，
由機械能守恒定律得：mgR=

1

2

mv₀²    
小球下落到B點時沿圓周方向的速度為：v_B=v₀cosθ
小球由B點運動到最低點C點過程中機械能守恒則：

1

2

mv_B²+mgR（1-sinθ）=

1

2

mv_c²
小球在最低點受力如圖所示，由牛頓運動定律得：F-mg=m

vc2

R

 
聯立解得：F=3.5mg=35N
由牛頓第三定律得小球對細繩的拉力為35N，方向豎直向下．
（2）小球與B碰撞過程中遵守動量和機械能兩個守恒，則
mv_c=mv₁+mv₂ 

1

2

mv_c²=

1

2

mv₁²+

1

2

mv₂²
解得：v₁=0，v₂=v_C=

5gR 2

，碰撞后小球與B交換速度
B在木板A上滑動，系統動量守恒，設B滑到木板A最右端時速度為v，則mv_c=（m+M）v
B在木板A上滑動的過程中，系統減小的機械能轉化為熱能，由能量守恒定律得　μmgL=

1

2

mv_c²-

1

2

（m+M）v² 　
聯立解得L=

M

2μg(m+M)

5gR 2

 
代入數據解得L=2.5m
答：（1）小球運動到最低點時對細線的拉力35N；
（2）木板長度L至少為2.5m時小物塊才不會滑出木板．

點評：本題考查了機械能守恒、速度的合成與分解、動量守恒以及能量守恒的應用，綜合性較強，有一定難度．