Question

（20分）如圖所示，光滑水平地面上方被豎直平面MN分隔成兩部分，左邊（包括豎直平面MN）有勻強磁場B，右邊有勻強電場E₀（圖中未標）。在O點用長為L＝5m的輕質不可伸長的絕緣細繩系一質量m_A＝0.02kg、帶負電且電荷量q_A＝4×10^－4C的小球A，使其在豎直平面內以速度v_A＝2.5m/s沿順時針方向做勻速圓周運動，運動到最低點時與地面剛好不接觸。處于原長的輕質彈簧左端固定在墻上，右端與質量m_B＝0.01kg、帶負電且電荷量q_B＝2×10^－4C的小球B接觸但不連接，此時B球剛好位于M點。現用水平向左的推力將B球緩慢推到P點（彈簧仍在彈性限度內），推力所做的功是W＝2.0J，當撤去推力后，B球沿地面向右運動到M點時對地面的壓力剛好為零，繼續運動恰好能與A球在最低點發生正碰，并瞬間成為一個整體C（A、B、C都可以看著質點），碰撞前后總電荷量保持不變，碰后瞬間勻強電場大小變為E₁＝1×10³ N/C，方向不變。g＝10m/s²。求：

（1）勻強磁場的磁感應強度B的大小和方向？

（2）勻強電場的電場強度E₀的大小和方向？

（3）整體C運動到最高點時繩對C的拉力F的大小？

 

Answer 1

（1）B＝25T，方向垂直紙面水平向外

（2）E₀＝5×10²N/C，方向豎直向下

（3）F＝1.5N

解析:（1）設B球運動到M點時速度為v_B，根據能量守恒有

W＝, v_B＝20 m / s········································（1分）

B球運動到M點時對地面的壓力剛好為零，則

q_Bv_BB＝m_Bg ·············（1分）  解得B＝25T···············（1分）

B球帶負電，受洛倫茲力豎直向上，則磁場方向垂直紙面水平向外。··（1分）

（2）小球A在豎直平面內做勻速圓周運動，所以受到的電場力與重力大小相等、方向相反。即有q_AE₀＝m_Ag·····································（1分）

解得E₀＝5×10²N/C···········································（1分）

A球帶負電，受到的電場力豎直向上，則電場方向豎直向下。·········（1分）

（3）設A、B碰后瞬間整體C帶電荷量為q_c，質量為m­_c，速度為v_c，由動量守恒

q_c＝q_A＋q_B＝6×10^－4C，m_c＝m_A＋m_B＝0.03kg

m_Bv_B－m_Av_A＝m_c v_c·············································（1分）

解得v_c＝5m/s

設整體C受到電場力和重力的合力為F_合，在最低點做圓周運動需要的向心力為F_向，則F_合＝q_cE₁－m_cg＝0.3N，F_向＝＝0.15N, F_合＞F_向，所以，細繩將松馳，整體C不會做圓周運動到達最高點，而是從碰后開始做類平拋運動。·························································（2分）

設做類平拋運動的加速度為a，經過時間t在某點S將繩繃緊，對應的水平方向的距離為x，豎直方向的距離為y，如圖，則

a＝F_合/m_c····（1分）       x＝v_ct ······（1分）

y＝·······························（1分）

且有x²＋(L－y)²＝L²或x²＋(y－L)²＝L²····（1分）

解得a＝10m/s²，t＝1s，x＝5m，y＝5m

由于x＝y＝L，某點S與O點在同一水平位置，C的水平速度變為零。（1分）

C從S點到最高點之間將做圓周運動，設在S點的豎直速度為v_s，到達最高點的速度為v，則v_s＝at,  v_s＝10m/s   ································（1分）

, v＝10m/s·····················（1分）

根據牛頓第二定律得F＋m_cg－q_cE₁＝······················（2分）

解得F＝1.5N·················································（1分）