Question

【題目】如圖所示，半徑為R的光滑圓環固定在豎直平面內，AB、CD是圓環相互垂直的兩條直徑，C、D兩點與圓心O等高．一個質量為m的光滑小球套在圓環上，一根輕質彈簧一端連在小球上，另一端固定在P點，P點在圓心O的正下方處．小球從最高點A由靜止開始沿逆時針方向下滑，已知彈簧的原長為R，彈簧始終處于彈性限度內，重力加速度為g．下列說法正確的有（ ）

A. 彈簧長度等于R時，小球的動能最大

B. 小球運動到B點時的速度大小為

C. 小球在A、B兩點時對圓環的壓力差為4mg

D. 小球從A到C的過程中，彈簧對小球做的功等于小球機械能的增加量

Answer 1

【答案】CD

【解析】

彈簧長度等于R時，彈簧處于原長，在此后的過程中，小球的重力沿軌道的切向分力大于彈簧的彈力沿軌道切向分力，小球仍在加速，所以彈簧長度等于R時，小球的動能不是最大。故A錯誤。由題可知，小球在A、B兩點時彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢能相等，根據系統的機械能守恒得：2mgR=mvB2，解得小球運動到B點時的速度 vB=2．故B錯誤。設小球在A、B兩點時彈簧的彈力大小為F．在A點，圓環對小球的支持力 F1=mg+F；在B點，由圓環，由牛頓第二定律得：F2-mg-F=m，解得圓環對小球的支持力 F2=5mg+F；則F2-F1=4mg，由牛頓第三定律知，小球在A、B兩點時對圓環的壓力差為4mg，故C正確。小球從A到C的過程中，根據功能原理可知，彈簧對小球做的功等于小球機械能的增加量。故D正確。故選CD。