Question

如圖所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置、斜坡長為L=20m，高為h=2m，斜坡上緊排著一排滾筒。長為l=8m、質量為m=1×103kg的鋼錠ab放在滾筒上，鋼錠與滾筒間的動摩擦因數為μ=0.3，工作時由電動機帶動所有滾筒順時針勻速轉動，使鋼錠沿斜坡向上移動，滾筒邊皆的線速度均為v=4m/s。假設關閉電動機的瞬時所有滾筒立即停止轉動。鋼錠對滾筒的總壓力近似等于鋼錠的重力。取當地的重力加速度g=10m/s2。試求：

（1）鋼錠從坡底（如圖示位置）由靜止開始運動，直到b端到達坡頂所需的最短時間。

（2）鋼錠從坡底（如圖所示）由靜止開始運動，直到b端到達坡頂的過程中電動機至少要工作多少時間？

Answer 1

解析：(1)鋼錠開始受到的滑動摩擦力為F_f＝μmg＝3×10³ N

由牛頓第二定律有F_f－mgsin α＝ma₁，解得a₁＝2 m/s²

鋼錠做勻加速運動的時間t₁＝＝2 s，位移x₁＝a₁t＝4 m

要使b端到達坡頂所需要的時間最短，需要電動機一直工作，鋼錠先做勻加速直線運動，當它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運動．鋼錠做勻速直線運動的位移x₂＝L－l－x₁＝8 m，做勻速直線運動的時間t₂＝＝2 s，所需最短時間t＝t₁＋t₂＝4 s.

(2)要使電動機工作的時間最短，鋼錠的最后一段運動要關閉電動機，鋼錠勻減速上升，b端到達坡頂時速度剛好為零．勻減速上升時F_f＋mgsin α＝ma₂，解得a₂＝4 m/s².勻減速運動時間t₃＝＝1 s，勻減速運動位移x₃＝t₃＝2 m，勻速運動的位移x₄＝L－l－x₁－x₃＝6 m，電動機至少要工作的時間t＝t₁＋＝3.5 s.

答案：(1)4 s　(2)3.5 s