Question

【題目】隨著科學技術水平的不斷進步，相信在不遠的將來人類能夠實現太空移民。為此，科學家設計了一個巨型環狀管道式空間站。空間站繞地球做勻速圓周運動，人們生活在空間站的環形管道中，管道內部截面為圓形，直徑可達幾千米，如圖（a）所示。已知地球質量為M，地球半徑為R，空間站總質量為m，G為引力常量。

（1）空間站圍繞地球做圓周運動的軌道半徑為2R，求空間站在軌道上運行的線速度大小；

（2）為解決長期太空生活的失重問題，科學家設想讓空間站圍繞通過環心并垂直于圓環平面的中心軸旋轉，使在空間站中生活的人們獲得“人工重力”。該空間站的環狀管道內側和外側到轉動中心的距離分別為r1、r2，環形管道壁厚度忽略不計，如圖（b）所示。若要使人們感受到的“人工重力”與在地球表面上受到的重力一樣（不考慮重力因地理位置不同而產生的差異且可認為太空站中心軸靜止），則該空間站的自轉周期應為多大；

（3）為進行某項科學實驗，空間站需將運行軌道進行調整，先從半徑為2R的圓軌道上的A點（近地點）進行第一次調速后進人橢圓軌道。當空間站經過橢圓軌道B點（遠地點）時，再進行第二次調速后最終進人半徑為3R的圓軌道上。若上述過程忽略空間站質量變化及自轉產生的影響，且每次調速持續的時間很短。

①請說明空間站在這兩次調速過程中，速度大小是如何變化的；

②若以無窮遠為引力勢能零點，空間站與地球間的引力勢能為，式中r表示空間站到地心的距離，求空間站為完成這一變軌過程至少需要消耗多少能量。

Answer 1

【答案】（1）v=；（2）T=2πR；（3）①加速過程；②。

【解析】試題分析：（1）空間站繞地球做圓周運動，由萬有引力定律及牛頓運動定律有：

， 解得v=；

（2）設地球表面的物體質量為m0，在不考慮地球自轉時有：，

當人隨空間站一起自轉且加速度為g時，可獲得與地球表面相同的“重力”，所以g=,

聯立各式：T=2πR；

（3）①在A點和B點兩次調速均是加速過程；

②空間站變軌前的總能量E1=，

空間站變軌后做圓周運動，有：，

空間站變軌后的總能量E2=，

變軌過程中消耗的能量△E=E2－E1=