Question

【題目】宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動而不至因萬有引力的作用吸引到一起．

(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質量的反比．

(2)設兩者的質量分別為m1和m2，兩者相距L，試寫出它們角速度的表達式．

Answer 1

【答案】(1)證明：兩天體繞同一點做勻速圓周運動的角速度ω一定要相同，它們做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，所以兩天體與它們的圓心總是在一條直線上 (2)

【解析】（1）證明：兩天體繞同一點做勻速圓周運動的角速度ω一定要相同，它們做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，所以兩天體與它們的圓心總是在一條直線上．

設兩者的圓心為O點，軌道半徑分別為R1和R2，如圖所示．對兩天體，由萬有引力定律可分別列出

G ＝m1ω2R1①

G＝m2ω2R2②

所以，所以，

即它們的軌道半徑、線速度之比都等于質量的反比．

（2）由①②兩式相加得G＝ω2(R1＋R2)，

因為R1＋R2＝L，所以ω＝ .