Question

如圖所示，在真空室中平面直角坐標(biāo)系的y軸豎直向上，x軸上的P點(diǎn)與Q點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，PQ間的距離d=30cm．坐標(biāo)系所在空間存在一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)的大小E=1.0N/C．一帶電油滴在xOy平面內(nèi)，從P點(diǎn)與x軸成30°的夾角射出，該油滴將做勻速直線運(yùn)動(dòng)，已知油滴的速度v=2.0m/s射出，所帶電荷量q=1.0×10^-7C，重力加速度為g=10m/s²．
（1）求油滴的質(zhì)量m．
（2）若在空間疊加一個(gè)垂直于xOy平面的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使油滴通過(guò)Q點(diǎn)，且其運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱．已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=2.0T，求：
a．油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
b．圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S．

Answer 1

分析：（1）對(duì)帶電油滴進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律即可求解；
（2）帶電油滴進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其軌跡如圖所示，根據(jù)向心力公式、求出半徑，進(jìn)而求出周期，根據(jù)幾何關(guān)系求出圓心角，繼而求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過(guò)程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等．根據(jù)幾何關(guān)系和速度公式求解粒子在這兩段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的時(shí)間，三段運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和即為總時(shí)間，連接MN，當(dāng)MN為圓形磁場(chǎng)的直徑時(shí)，圓形磁場(chǎng)面積最小，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，S=πr²求解面積．

解答：解：
（1）對(duì)帶電油滴進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有qE-mg=0
所以m=

qE

g

=1.0×10-8kg
（2）帶電油滴進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其軌跡如圖所示，設(shè)其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R、運(yùn)動(dòng)周期為T、油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)牛頓第二定律：
所以qvB=

mv2

R

?R=

mv

qB

=0.10m
所以T=

2πR

v

=0.1πs
設(shè)帶電油滴從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由于油滴的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知∠MO'N=60°，所以，帶電油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=

T

6

=

0.1π

6

s
由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過(guò)程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等．根據(jù)幾何關(guān)系可知，PM=NQ=

d 2 -Rsin30°

cos30°

=

0.2

3

3

m
所以油滴在P到M和N到Q過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=t3=

PM

v

=

0.1

3

3

s
則油滴從P到Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=t1+t2+t3=(

0.2

3

3

+

0.1

6

π)s≈0.17s
連接MN，當(dāng)MN為圓形磁場(chǎng)的直徑時(shí)，圓形磁場(chǎng)面積最小，如圖所示．根據(jù)幾何關(guān)系圓形磁場(chǎng)的半徑r=Rsin30°=0.05m
其面積為S=πr²=0.0025πm²≈7.9×10^-3m²
答：（1）求油滴的質(zhì)量m為1.0×10^-8kg．
（2）a．油滴在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為0.17s；
b．圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S為7.9×10^-3m²．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是先確定油滴的運(yùn)動(dòng)情況，并畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后逐段逐段分析，勻速圓周運(yùn)動(dòng)階段洛倫茲力提供向心力，并結(jié)合幾何知識(shí)求解，難度適中．