Question

【題目】功是物理學中非常重要的概念，通過做功的過程可以實現能量轉化。

(1)一直流電動機，線圈電阻R=2.0Ω，當它兩端所加的電壓U=24V時，電動機正常運轉，測得通過其電流I=0.50A。求此工作狀態下，這臺電動機將電能轉化為機械能的效率是多少？（保留三位有效數字）

(2)在電路中電能轉化為其他形式能的過程就是電流做功的過程，電流做功的過程本質上是導體中恒定電場的電場力對定向移動的自由電荷做功的過程。由同種材料制成的很長的圓柱形實心金屬導體，在其上選取長為L的導體做為研究對象，如圖1所示，當其兩端的電勢差恒為U時，形成的恒定電流的大小為I，即相同時間內通過導體A端橫截面的電荷量與通過B端的電荷量相等，也就等于通過這段導體的電荷量。設導體中的恒定電場為勻強電場，自由電子的電荷量為e，它們定向移動的速率恒定且均相同。

①求每個自由電子在導體中做定向移動的平均阻力f；

②結合電流的定義式I=，從恒定電場的電場力對自由電子做功的角度，證明電流通過這段金屬導體做功的功率為P=UI；

③結合電流的定義式I=，從恒定電場的電場力對自由電子做功的角度，證明電流通過這段金屬導體在時間t內產生的焦耳熱為Q=UIt；

(3)如圖2所示為簡化的直流電動機模型，固定于水平面的兩根平行金屬導軌，處于豎直向下的勻強磁場中，在兩導軌的左端通過開關連接一電源。一根導體棒MN放置在導軌上，導體棒與導軌間的阻力恒定且不為0。閉合開關S后，導體棒由靜止開始運動，運動過程中切割磁感線產生動生電動勢，該電動勢總要削弱電源電動勢的作用，我們把這個電動勢稱為反電動勢E反。若導體棒運動過程中始終與導軌垂直且接觸良好，此“電動機模型”穩定運行時通過導體棒的電流為I。請證明此“電動機模型”穩定運行時的機械功率為P機=IE反；

(4)如圖3所示為簡化的直流電動機模型，固定于水平面的兩根平行金屬導軌，處于豎直向下的勻強磁場中，在兩導軌的左端通過開關連接一電源。一根導體棒MN放置在導軌上，導體棒用通過定滑輪的輕細線與重物相連。閉合開關S后，導體棒由靜止開始運動，運動過程中切割磁感線產生動生電動勢，該電動勢總要削弱電源電動勢的作用，我們把這個電動勢稱為反電動勢E反。若導體棒運動過程中始終與導軌垂直且接觸良好，且一切摩擦均可忽略不計，此“電動機模型”穩定運行時通過導體棒的電流為I。請證明此“電動機模型”穩定運行時對重力做功的功率為P=IE反。

Answer 1

【答案】(1)95.8%；(2)①；②證明見解析；③證明見解析；(3)證明見解析；(4)證明見解析

【解析】

(1)電動機的輸入功率

產生熱的功率

因此輸出機械能的功率

電能轉化為機械能的效率為

(2)①因自由電子做勻速運動，因此有

②導體內恒定電場的電場力對通過這段導體的一個自由電子所做的功

設t時間內共有n個自由電子通過這段導體，則恒定電場的電場力對自由電子所做的總功

因導體中的電流

I==

所以可得

W=UIt

因此電流通過這段金屬導體做功的功率為

③恒定電流中自由電子定向移動的速度保持不變，即自由電子的定向移動的動能不變，根據功能關系可知，電場力所做的功等于阻力做的功，覓阻力做的功等于電流通過導體產生的焦耳熱，因此

Q=W電=UIt

(3)“電動機模型”穩定運行時的機械功率就是安培力做功的功率。設穩定運行時導體棒的速度為v，則

P機=F安v=BILv

又因

E反=BLv

所以

P機=E反I

(4) “電動機模型”穩定運行時，導體棒受力分析可知

因此克服重力做功的機械功率就是安培力做功的功率。設穩定運行時導體棒的速度為v，則

P機=F安v=BILv

又因

E反=BLv

所以

P機=IE反

即