Question

有一勻強磁場區域，區域的上下邊界MM＇、NN＇與水平面平行，磁場的磁感應強度為B，方向如圖所示，磁場上下邊界的距離為H。一矩形線圈abcd位于豎直平面內，其質量為m，電阻為R，ab邊長L₁，bd邊長L₂，且L₂＜H。現令線框從離磁場區域上邊界MM＇的距離為h處自由下落， 當cd邊已進入磁場，ab邊還未進入磁場的某一時刻，線框的速度已到達其完全進入磁場前的最大值，線框下落過程中cd邊始終與磁場邊界平行。試求：

（1）線框完全進入磁場前速度的最大值；

（2）從線框開始下落到cd邊剛剛到達磁場區域下邊界NN＇的過程中，磁場作用于線框的安培力所做的功；

（3）線框cd邊剛穿出磁場區域下邊界NN＇時線框的加速度。

 

Answer 1

解：（1）設速度大小為v₁，此時線框的重力和線框ab邊受到的安培力平衡，令此時線框中的電流強度為I₁，應有BI₁L₁=mg（2分），（2分），故（2分）

（2）設線框達到速度v₁時，cd邊進入磁場的深度為h₁，從下落到此時安培力對線框做功為W₁。對于線框由動能定理，得…①（1分）

線框從有速度v₁到完全進入磁場時，線框作勻速運動，此過程中安培力對線框做功W₂，由動能定理有mg(L₂-h₁)+W₂=0…②（1分），

從線框完全進入磁場到cd邊剛到磁場區域下邊界NN＇的過程中，線框中無電流，故此過程中安培力對線框所做的功為零（1分），所以整個過程中磁場作用于線框的安培力所做的總功為W_安=W₁+W₂ … ③，由①、②、③式

可得，W_安= …④（1分）

（3）設線框的cd邊剛剛穿出磁場區域下邊界NN＇時線框的速度v₂，則從線框剛下落到cd邊穿出磁場的整個過程中，由動能定理，可得mg(h+H)+W_安=…⑤（1分），

由④、⑤式解得 … ⑥（1分）

線框的cd邊剛出磁場時只有ab邊切割磁感線，使線框中產生感應電流，導致ab邊受到向上的安培力，設此時線框的加速度為a，且設向下的方向為正方向，則由電磁感應定律及牛頓第二定律，有…⑦（1分）

由 ⑥、⑦式可解得＜0

所以所求加速度大小 （1分），方向豎直向上。