Question

如圖所示，固定的凹槽水平表面光滑，其內放置U形滑板N，滑板兩端為半徑R=0.45m的1/4圓弧面．A和D分別是圓弧的端點，BC段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑塊P₁和P₂的質量均為m．滑板的質量M=4m，P₁和P₂與BC面的動摩擦因數分別為μ₁=0.10和μ₂=0.40，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力．開始時滑板緊靠槽的左端，P₂靜止在粗糙面的B點，P₁以v₀=4.0m/s的初速度從A點沿弧面自由滑下，與P₂發生彈性碰撞后，P₁處在粗糙面B點上．當P₂滑到C點時，滑板恰好與槽的右端碰撞并與槽牢固粘連，P₂繼續運動，到達D點時速度為零．P₁與P₂視為質點，取g=10m/s²．問：
（1）P₂在BC段向右滑動時，滑板的加速度為多大？
（2）BC長度為多少？N、P₁和P₂最終靜止后，P₁與P₂間的距離為多少？

Answer 1

分析：（1）由機械能守恒可求得p₁與P₂碰前的速度，由動量守恒和機械能守恒可求得碰后兩物體的速度；由牛頓第二定律可求得p₂的加速度，因p₁的運動狀態不確定，先假設其靜止再進行驗證；
（2）由機械能守恒對CD分析可得出P₂滑到C點速度；對三個滑板N、P₁、及P₂在相碰到P₂滑到C點這一過程中，由動量守恒可求得滑塊及P₁的速度；則對整體由功能關系可求得BC長度L；而碰后兩物體均要運動，最后靜止，由動力學知識可求得兩物體的位移，則可求得兩物體相距的距離．

解答：解：（1）P₁滑到最低點速度為v₁，由機械能守恒定律有：

1

2

m

v

2 0

+mgR=

1

2

m

v

2 1

解得：v₁=5m/s
P₁、P₂碰撞，滿足動量守恒，機械能守恒定律，設碰后速度分別為v′₁、v₂
則由動量守恒和機械能守恒可得：
mv₁=mv′₁+mv₂

1

2

mv₁²=

1

2

mv′₁²+

1

2

mv′₂²
解得：v′₁=0、v₂=5m/s
P₂向右滑動時，假設P₁保持不動，對P₂有：f₂=μ₂mg=4m（向左）
對P₁、M有：f=（m+M）a₂
a2=

f

m+M

=

4m

5m

=0.8m/s2
此時對P₁有：f₁=ma=0.80m＜f_m=1.0m，所以假設成立．
故滑塊的加速度為0.8m/s²；
（2）P₂滑到C點速度為v₂′，由mgR=

1

2

mv

′

2 2

得v′₂=3m/s
P₁、P₂碰撞到P₂滑到C點時，設P₁、M速度為v，由動量守恒定律得：mv₂=（m+M）v+mv′₂
解得：v=0.40m/s
對P₁、P₂、M為系統：f₂L=

1

2

mv²₂-

1

2

mv′₂²+

1

2

（m+M）v²
代入數值得：L=1.9m
滑板碰后，P₁向右滑行距離：S1=

v2

2a1

=0.08m
P₂向左滑行距離：S2=

v ′ 2 2

2a2

=1.125m
所以P₁、P₂靜止后距離：△S=L-S₁-S₂=0.695m
故最后兩物體相距0.695m．

點評：本題為動量守恒定律及能量關系結合的綜合題目，難度較大；要求學生能正確分析過程，并能靈活應用功能關系；合理地選擇研究對象及過程；對學生要求較高．
不過隨著全國新課改的展開，動量作為了選修內容，故此類題目將在新課標的考試中不再出現．