Question

（06天津卷）11（22分）神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成。兩星視為質點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率和運行周期T。

（1）可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點處質量為的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為、，試求（用、表示）；

（2）求暗星B的質量與可見星A的速率、運行周期T和質量之間的關系式；

（3）恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率，運行周期，質量，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？

Answer 1

（）

（1）設A、B的圓軌道半徑分別為、，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為。由牛頓運動定律，有

        

設A、B之間的距離為，又，由上述各式得

 ①   

由萬有引力定律，有，將①代入得   

令     比較可得 ②

（2）由牛頓第二定律，有 ③

又可見星A的軌道半徑  ④

由②③④式解得  ⑤

（3）將代入⑤式，得

代入數據得 ⑥

設，將其代入⑥式，得 ⑦

可見，的值隨的增大而增大，試令，得

 ⑧

若使⑦式成立，則必大于2，即暗星B的質量必大于2，由此得出結論：暗星B有可能是黑洞。