Question

如圖為宇宙中有一個恒星系的示意圖。A為星系的一顆行星，它繞中央恒星O運行的軌道近似為圓。天文學家觀測得到A行星運動的軌道半徑為、周期為。
（1）中央恒星O的質量為多大？
（2）經長期觀測發現，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔時間發生一次最大的偏離。天文學家認為形成這種現象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知的行星B（假設其運行軌道與A在同一水平面內，且與A的繞行方向相同），它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離。（由于B對A的吸引而使A的周期引起的變化可以忽略）根據上述現象及假設，試求未知行星B的運動周期T及軌道半徑R。

Answer 1

（1）設中央恒星質量為M ，A行星質量為m
 ……………      2分     
得    …………………. 1分
（2）A、B相距最近時，A偏離最大，
據題意有 …… 2分     
得  ………………………………1分
據開普勒第三定律    ………………2分 
得  ………………………….. 2分

解析