Question

如圖甲所示裝置中，左側是寬度為L的有界磁場，磁場方向垂直紙面向內．M、N為水平放置的平行導體板，長度為L，間距為d，加上電壓后不考慮電場邊緣效應，O₁O₂為兩極板的中線．P是足夠大的熒光屏，且屏與極板右邊緣的距離也為L．質量為m、電荷量為e的電子從磁場左側圖示位置進入磁場，速度大小為v₀，方向與水平成θ角．經過磁場偏轉后，速度沿水平方向從O₁位置進入MN板間區域，求：
（1）磁場磁感應強度B大小；
（2）若極板M、N間加恒定電壓，電子經過電場偏轉后正好打中屏上的A點，A點與極板M的同一水平線上，求M、N間所加電壓U．
（3）若M、N間所加電壓按如圖乙所示周期性變化，要使電子磁場后在t=0時刻進入偏轉電場后水平擊中A點，試確定偏轉電場電壓U₀以及周期T分別應該滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律，結合洛倫茲力可求出磁感應強度的大小；
（2）粒子出電場后反向速度的反向延長線經過偏轉電場中軸線的中點，根據幾何關系得出速度與水平方向的夾角，結合牛頓第二定律和運動學公式求出偏轉電壓的大小．
（3）要使電子在水平在水平方向擊中A點，電子必向上極板偏轉，且v_y=0，則電子應在t=0時刻進入偏轉電場，且電子在偏轉電場中運動的時間為整數個周期．抓住時間與周期的關系求出周期的通項表達式．根據運動的對稱性，知粒子在一半時間內在豎直方向上的位移等于

d

2

，根據該關系求出偏轉電壓的通項表達式．

解答：解：（1）電子經磁場偏轉，洛倫茲力提供向心力，則有：evB=

mv

eB

；
由幾何關系，L=Rsinθ                  
解得：B=

mv0sinθ

eL

（2）由題意知，電子經偏轉電場偏轉后做勻速直線運動到達A點，設電子離開偏轉電場時的偏轉角為θ，則由幾何關系得：

d

2

=（L+

L

2

）tanθ              
解得：tanθ=

d

3L

又tanθ=

vy

v0

 
vy=

eU

md

t
L=v₀t
解得：U=

md2 v 2 0

3eL2

（3）要使電子在水平在水平方向擊中A點，電子必向上極板偏轉，且v_y=0，則電子應在t=0時刻進入偏轉電場，且電子在偏轉電場中運動的時間為整數個周期，設電子從加速電場射出的速度為v₀，則
因為電子水平射出，則電子在偏轉電場中的運動時間滿足t=

L

v0

=nT      
則T=

L

mv0

（n=1，2，3，4…）        
在豎直方向位移應滿足

d

2

=2n×

1

2

a（

T

2

）²=2n×

1

2

?

eU0

md

（

T

2

）²     
解得：U₀=

2nmd2 v 2 0

eL2

（n=1，2，3，4…）
答：（1）磁場磁感應強度B=

mv0sinθ

eL

．
（2）偏轉電場所加電壓為U=

md2 v 2 0

3eL2

．
（3）偏轉電場電壓為U₀=

2nmd2 v 2 0

eL2

（n=1，2，3，4…），滿足的周期關系為T=

L

mv0

（n=1，2，3，4…）．

點評：本題是帶電粒子先加速后偏轉問題，電場中加速根據動能定理求解獲得的速度、偏轉電場中類平拋運動的研究方法是運動的分解和合成．