Question

（12分）如圖所示，在水平軌道右側安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設特殊材料，調節其初始長度為l．水平軌道左側有一輕質彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態．小物塊A（可視為質點）從軌道右側以初速度v₀沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經水平軌道返回圓形軌道．
已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=m/s，物塊A質量為m=1kg，與PQ段間的動摩擦因數為μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計，取g=10m/s²．求：

（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度．
（3）調節PQ段的長度l，A仍以v₀從軌道右側沖上軌道，當l滿足什么條件時，A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道．

Answer 1

（1）m/s（1分）；（2）返回到右邊軌道的高度為。（1分）
（3）要使A物塊能第一次返回圓形軌道并沿軌道運動而不脫離軌道，l滿足的條件是  或 （1分）。

解析試題分析：（1）物塊A沖上圓形軌道后回到最低點速度為v₀=m/s；
應用動能定理，與彈簧接觸瞬間，有（1分）；
可得，物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小m/s（1分）。
（2）A被彈簧以原速率彈回，向右經過PQ段，根據勻變速直線運動的規律有（1分）
得A速度   （1分）
當A滑上圓形軌道，根據機械能守恒定律有（1分）
（也可以應用 ）
可得，返回到右邊軌道的高度為，符合實際。（1分）
（3）物塊A以v₀沖上軌道直到回到PQ段右側，有   
可得，A回到右側速度 （1分）
要使A能返回右側軌道且能沿軌道運動而不脫離軌道，則有：
①若A沿軌道上滑至最大高度h時，速度減為0，則h滿足： （1分）
根據機械能守恒：    聯立可得， （1分）
②若A能沿軌道上滑至最高點，則滿足： 且 （1分）
聯立得  （1分）
綜上所述，要使A物塊能第一次返回圓形軌道并沿軌道運動而不脫離軌道，l滿足的條件是
 或 （1分）
考點：勻變速直線運動的規律、動能定理及機械能守恒定律的綜合應用。