Question

中國首個月球探測計劃“嫦娥工程”預計在2017年送機器人上月球，實地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準備．設想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實驗儀器：A．計時表一只；B．彈簧秤一把；C．已知質量為m的物體一個；D．天平一只（附砝碼一盒）．在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月球做勻速圓周運動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行了第二次測量，利用上述兩次測量所得的物理量可出推導出月球的半徑和質量．（已知萬有引力常量為G）
（1）機器人進行第二次測量的內容是什么？
（2）試推導用上述測量的物理量表示的月球半徑和質量的表達式．

Answer 1

分析：（1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數F，即為物體在月球上所受重力的大小．
（2）靜止時讀出彈簧秤的讀數F，求出月球表面重力加速度．不考慮月球的自轉影響，根據重力近似等于月球的萬有引力，列方程得出月球表面重力加速度與月球半徑的關系式，再飛船在繞月球運行時，由萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力列方程，得到月球質量與月球半徑、飛船周期的關系式，再聯立求解月球半徑和質量的表達式．

解答：解：（1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數F，即為物體在月球上所受重力的大小． 
（2）在月球上忽略月球的自轉有 
F=G

Mm

R2

對飛船靠近月球表面做圓周運動有 
G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
又 T=

t

N

 由以上各式可得：
月球的半徑R=

Ft2

4π2N2m

月球的質量M=

F3t4

16π4N4m3G

答：（1）機器人進行第二次測量的內容是測量物體在月球上所受的重力．
（2）月球的半徑為R=

Ft2

4π2N2m

  月球的質量為M=

F3t4

16π4N4m3G

點評：登月飛船繞月球旋轉與人造衛星繞地球運行相似，要建立物理模型：飛船繞月做勻速圓周運動，由月球的萬有引力提供飛船的向心力．