Question

【題目】如圖所示，豎直面內固定一傾角為45°的足夠長光滑斜面，其上滑輪的頂端與一個固定的半徑R=0.5m的光滑圓弧最高點M及圓心O在同一水平線上。可視為質點的A、B兩球質量分別為mA=1kg和mB=2kg，用足夠長的跨過滑輪及M點的細繩相連，A球的另一側與一固定在斜面底端擋板處的彈簧相連，勁度系數k=20N/m。起初用手托住B球在M點，細繩恰好伸直但無拉力。不計一切摩擦及滑輪質量，斜面上的細繩、彈簧與斜面平行，無初速度釋放B球且此后細繩始終繃緊，g=10m/s2。

（1）求初始狀態彈簧的形變量。

（2）求B球到達圓弧軌道最低點時，彈簧的形變量及A、B兩球的速度比值。

（3）求B球到達圓弧軌道最低點時，A球的速度大小。

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）

【解析】

（1）初始狀態A球處于平衡狀態，所受合外力為零，對A球列式求解彈簧的形變量。（2）末態A球的實際速度沿斜面向上，B球的速度沿圓弧切線水平向右，二者實際速度沿繩方向的投影相等，根據平行四邊形定則求出兩個速度的關系。（3）由A球、B球、彈簧組成的系統機械能守恒，求解A的速度。

（1）初始狀態A球處于平衡狀態，所受合外力為零

對A球有：

得：壓縮量

（2）當B球到達圓弧軌道最低點時，A球沿斜面上升的距離為

此時彈簧伸長量

末態A球的實際速度沿斜面向上，B球的速度沿圓弧切線水平向右，二者實際速度沿繩方向的投影相等，即vA=vBcos450

解得

（3）因，故彈簧始末狀態的彈性勢能相等，

由A球、B球、彈簧組成的系統機械能守恒有：

得：vA=m/s