Question

如圖，豎直平面內有一光滑圓弧軌道，其半徑為R=0.5m，平臺與軌道的最高點等高，一質量m=lkg的小球從平臺邊緣的A處水平射出，恰能沿圓弧軌道上B點的切線方向進入軌道內側，軌道半徑OB與豎直線的夾角為53°，已知sin53°=0.8，cos53°=0，6，g取10m/s²．試求：
（1）小球從平臺上的A點射出時的速度大小v₀；
（2）小球沿軌道通過圓弧的最高點Q時對軌道的壓力大小．

Answer 1

分析：（1）恰好從光滑圓弧PQ的P點的切線方向進入圓弧，說明到到P點的速度v_P方向與水平方向的夾角為θ，這樣可以求出初速度v₀；
（2）根據機械能守恒定律求得Q點速度，再運用牛頓第二定律和圓周運動知識求解．

解答：解：（1）小球從A到P的高度差h=R（1+cos53°）①
小球做平拋運動有 h=

1

2

gt2 ②
則小球在P點的豎直分速度v_y=gt③
把小球在P點的速度分解可得v₀tan53°=v_y ④
由①②③④解得：小球平拋初速度v₀=3m/s
（2）小球從A到達Q時，根據機械能守恒定律可知v_Q=v₀=3m/s
在Q點根據向心力公式得：
m

v 2 Q

R

=N+mg
解得；N=m

v 2 Q

R

-mg=14.4-8=6.4N
根據牛頓第三定律得：小球沿軌道通過圓弧的最高點Q時對軌道的壓力N′=N=6.4N
答：（1）小球從平臺上的A點射出時的速度大小為3m/s；
（2）小球沿軌道通過圓弧的最高點Q時對軌道的壓力大小為6.4N

點評：恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點進入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運動和圓周運動結合在一起運用機械能守恒解決，能夠很好的考查學生的能力，較難．