Question

（15分）北京時間05年4月12日20時0分，我國在西昌衛星發射中心用“長征三號乙”捆綁式運載火箭，成功地將“亞太六號”通信衛星(其質量用m表示)送入太空。這顆“亞太六號”通信衛星在圍繞地球的橢圓軌道上運行。離地球表面最近的點A(近地點)高度L₁=209km(209×10³m)、離地球表面最遠的點B(遠地點)高度L₂=49991km(49991×10³m)。已知地球質量M=6.0×10²⁴kg、引力常量G=×10^-9N?m²/kg²、地球半徑R=6400km=6.4×10⁶m。地球上空任一高度處h(h為到地球中心的距離)，衛星具有的引力勢能表達式為-，求：

（1）此衛星在圍繞地球的橢圓軌道上從近地點A運動到遠地點B的時間約為幾天(設π²=10.保留兩位數字)

（2）證明：V_A?(L₁+R)= V_B(L₂+R)  其中V_A和V_B分別是“亞太六號”通信衛星在近地點A和遠地點B的速度；L₁+R和L₂+R分別是“亞太六號”通信衛星在近地點A和遠地點B到地球球心的距離(提示：根據橢圓的對稱性可知近地點A和遠地點B所在軌道處的極小的弧形應是半徑相等的圓弧的弧)

（3）試計算“亞太六號”通信衛星的發射速度V的大小是多少km/s(保留兩位數字)

Answer 1

解析：

（1）萬有引力提供向心力

=mω²r=m()²r                                    (1分)

整理得==                                          (1分)

由開普勒定律及上面推證知任一橢圓中上式同樣適用：k===    (1分)

由圖知半長軸r=(209+2×6400+49991)/2  km                    (1分)

=31500km(或315×10⁵m)                       (1分)

T=                                             (1分)

=s=0.64天                         (1分)

從近地點A運行到遠地點B的時間t=T/2=0.32天               (1分)

（2）設近地點A和遠地點B所在軌道處的極小圓弧的半徑為ρ

依題意和萬有引力提供向心力得：

f_A==m                  (1分)

f_B==m                 (1分)

聯立解得V_A?(L₁+R)=V_B(L₂+R)                  (1分)

（3）由機械能守恒及上面的證明得：

mV-=mV-            (1分)

mV-=mV-             (1分)

V_A?(L₁+R)= V_B(L₂+R)

聯立解得V=          (2分)

代入數據得V₀=10.6km/s               (2分)