Question

【題目】（1）光電效應和康普頓效應揭示了光的粒子性的一面。前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外還具有動量。由狹義相對論可知，一定的質量m與一定的能量E相對應：E=mc2，其中c為真空中光速。已知某單色光的頻率為v，波長為，該單色光光子的能量E=hv，其中h為普朗克常量。試借用動量的定義：動量=質量×速度，推導該單色光光子的動量p=。

（2）根據玻爾理論，電子繞氫原子核運動可以看作是僅在庫侖引力作用下的勻速圓周運動。電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運動，對應著氫原子的不同能量狀態，電子做圓周運動的軌道半徑滿足rn=n2r1，其中n為量子數，即軌道序號，rn為電子處于第n軌道時的軌道半徑。電子在第n軌道運動時氫原子的能量En為電子動能與“電子-原子核”這個系統電勢能的總和。理論證明，系統的電勢能Ep和電子繞氫原子核做圓周運動的半徑r存在關系：

Ep=-k（以無窮遠為電勢能零點）。

已知電子的電荷量為e，質量為m，靜電力常量為k，電子在第1軌道運動的半徑為r1，氫原子的基態能量為E1，請根據以上條件完成下面的問題：

①試證明電子在第n軌道運動時氫原子的能量En和電子在第1軌道運動時氫原子的能量E1滿足關系式En=；

②假設氫原子甲核外做圓周運動的電子從第2軌道躍遷到第1軌道的過程中所釋放的能量，恰好被量子數n=4的氫原子乙吸收并使其電離，即其核外在第4軌道做圓周運動的電子脫離氫原子核的作用范圍。不考慮電離前后原子核的動能改變，試求氫原子乙電離后電子的動能。

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】(1) 光子的能量：E=mc2

光子的動量：p=mc

可得：

(2)設電子在第1軌道上運動的速度大小為v1，根據牛頓第二定律有

電子在第1軌道運動的動能：

電子在第1軌道運動時氫原子的能量

同理，電子在第n軌道運動時氫原子的能量

又因為

則有，命題得證.

由(1)可知，電子在第1軌道運動時氫原子的能量

電子在第2軌道運動時氫原子的能量

電子從第2軌道躍遷到第1軌道所釋放的能量

電子在第4軌道運動時氫原子的能量

設氫原子電離后電子具有的動能為，根據能量守恒有：

解得：