Question

（18分）如圖的環狀軌道處于豎直面內，它由半徑分別為R和2R的兩個半圓軌道、半徑為R的兩個四分之一圓軌道和兩根長度分別為2R和4R的直軌道平滑連接而成．以水平線MN和PQ為界，空間分為三個區域，區域Ⅰ和區域Ⅲ有磁感應強度為B的水平向里的勻強磁場，區域Ⅰ和Ⅱ有豎直向上的勻強電場．一質量為m、電荷量為+q的帶電小環穿在軌道內，它與兩根直軌道間的動摩擦因數為μ(0<μ<1)，而軌道的圓弧形部分均光滑．將小環在較長的直軌道CD下端的C點無初速釋放（已知區域Ⅰ和Ⅱ的勻強電場場強大小為，重力加速度為g），求：

（1）小環在第一次通過軌道最高點A時的速度v_A的大小；

（2）小環在第一次通過軌道最高點A時受到軌道的壓力F_N的大小；

（3）若從C點釋放小環的同時，在區域Ⅱ再另加一垂直于軌道平面向里的水平勻強電場，其場強大小為，則小環在兩根直軌道上通過的總路程多大？

Answer 1

解析：

(1)從C到A，洛倫茲力不做功，小環對軌道無壓力，也就不受軌道的摩擦力．由動能定理，有：

 

可得：

(2)過A點時，研究小環，由受力分析和牛頓第二定律，有：

解得

(3)由于0<μ<1，小環必能通過A點，以后有三種可能：

①有可能第一次過了A點后，恰好停在K點，則在直軌道上通過的總路程為：

②也有可能在水平線PQ上方的軌道上往復若干次后，最后一次從A點下來恰好停在K點，對整個運動過程，由動能定理，有：

得：s_總=

③還可能最終在D或點速度為零（即在D與點之間振動），由動能定理，有：

得：s_總=