Question

（22分）如圖甲所示，在xOy坐標平面的第一象限（包括x、y軸）內存在磁感應強度大小為B₀、方向垂直于xOy平面且隨時間做周期性變化的勻強磁場，如圖乙所示，規定垂直xOy平面向里的磁場方向為正。在y軸左側有一對豎直放置的平行金屬板M、N，兩板間的電勢差為U₀。一質量為m、電量為q的帶正電粒子（重力和空氣阻力均忽略不計），從貼近M板的中點無初速釋放，通過N板小孔后從坐標原點O以某一速度沿x軸正方向垂直射入磁場中，經過一個磁場變化周期T₀（T₀未知）后到達第一象限內的某點P，此時粒子的速度方向恰好沿x軸正方向。

（1）求粒子進入磁場作勻速圓周運動時的運動半徑；
（2）若粒子在t=0時刻從O點射入磁場中，求粒子在P點縱坐標的最大值y_m及相應的磁場變化周期T₀的值；
（3）若在上述（2）中，第一象限內y=y_m處平行x軸放置有一屏幕，如圖甲，磁場變化周期為上述（2）中T₀，但M、N兩板間的電勢差U可以在U₀<U<9U₀范圍內變化，粒子仍在t=0時刻從O點射入磁場中，求粒子可能擊中的屏幕范圍。

Answer 1

解：（1）設粒子被電場加速獲得速度大小為v₀，根據動能定理qU₀=mv₀²
解得：v₀=.
帶電粒子垂直進入勻強磁場后做半徑為r的勻速圓周運動，q v₀B₀=m，
解得r=。
（2）設帶電粒子在磁場中運動周期為T，則有T==。
如圖所示，粒子在P點y坐標值最大，據幾何知識有，OO₁=PO₂=r，
O₁O₂=2r，則AO₁=r。
P點縱坐標最大值y_m= OO₁ +AO₁+PO₂=(2+).
由幾何關系知α=60°，粒子運動時轉過α+90°=150°，磁場開始改變方向，即磁場變化半個周期內粒子運動轉過150°角，則=T=.
（3）由U₀≤U≤9 U₀可得粒子速度v₀≤v≤3 v₀。
粒子在磁場中運動半徑：r≤R≤3r。
由幾何關系可得，在屏幕上擊中的屏幕范圍最左端軌跡如圖2所示，該點橫坐標x₁=0；
由幾何關系可得，在屏幕上擊中的屏幕范圍最右端軌跡如圖3所示，
由(y_m- R_m)²+x₂²=R_m²
解得該點橫坐標x₂=r=；
粒子可能擊中的屏幕范圍為：0≤x≤。

應用動能定理、洛倫茲力公式、牛頓運動定律及其相關知識列方程解答。