Question

宇航員到了某星球后做了如下實驗：如圖所示，在光滑的圓錐頂用長為L的細線懸掛一質量為m的小球，圓錐頂角2θ．當圓錐和球一起以周期T勻速轉動時，球恰好對錐面無壓力．已知星球的半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）線的拉力；
（2）該星球表面的重力加速度；
（3）該星球的第一宇宙速度；
（4）該星球的密度．

Answer 1

分析：1、小球做圓周運動的線的向心力是由線的拉力在水平方向的分力提供的 Fsinθ=m

4π2

T2

r，又因為半徑r=Lsinθ，可解得線的拉力F．
2、線的拉力在豎直方向的分力與重力平衡，即Fcosθ=mg_星，化簡可得該星球表面的重力加速度．
3、第一宇宙速度就是近地衛星的運行速度，此時重力提供向心力m′g星=m′

v2

R

，化簡可得該星球的第一宇宙速度．
4、在該星球表面上物體受到的重力等于萬有引力mg星=G

Mm

R2

，又因為M=ρ?

4

3

πR3，化簡可得該星球的密度．

解答：解：（1）小球做圓周運動，線的拉力在水平方向的分力提供向心力 Fsinθ=m

4π2

T2

r
又因為半徑r=Lsinθ
解得線的拉力F=m

4π2

T2

L
（2）線的拉力在豎直方向的分力與重力平衡，即Fcosθ=mg_星
解得該星球表面的重力加速度g星=

Fcosθ

m

=

4π2

T2

Lcosθ
（3）星球的第一宇宙速度即為該星球的近“地”衛星的環繞速度v，設近“地”衛星的質量為m′，根據向心力公式有：
m′g星=m′

v2

R

解得v=

2π

T

RLcosθ

（4）設星球的質量為M，星球表面的物體的重力等于萬有引力有
mg星=G

Mm

R2

又因為M=ρ?

4

3

πR3
解得星球的密度ρ=

3πLcosθ

GRT2

答：（1）線的拉力為m

4π2

T2

L；（2）該星球表面的重力加速度為

4π2

T2

Lcosθ；（3）該星球的第一宇宙速度為

2π

T

RLcosθ

；（4）該星球的密度為

3πLcosθ

GRT2

．

點評：本題把牛頓第二定律、萬有引力定律、勻速圓周運動等知識綜合了起來，有一定的難度．要求能夠進行正確的受力分析，搞清楚什么力提供向心力，這是解題的關鍵．