Question

如圖所示，兩足夠長的直平行水平導軌相距L=1.0m，導軌左邊連接阻值R=15Ω的電阻，導軌上放置著A、B兩金屬捧，A棒質量m_A=0.75kg、電阻R_A=10Ω，B棒質量m_B=0.25kg、電阻R_B=10Ω，兩金屬棒與導軌垂直，兩棒靠得很近，之間用長為l=4.0m的絕緣輕繩相連，整個裝置置于磁感應強度大小B=1.0T、方向豎直向下的勻強磁場中．從t=0開始對B棒施加水平向右的拉力F，使B棒由靜止開始以a=2.0m/s₂的加速度做勻加速運動，t=2.0s時撤去拉力F．已知A棒右邊的導軌是光滑的，輕繩繃緊前A棒靜止不動，輕繩繃緊后，兩棒以相同速度運動直至停止．導軌電阻不計．求：
（1）拉力F隨時間t變化的關系式；
（2）輕繩繃緊后，電阻R上產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）根據運動學的公式求出棒的速度表達式，結合電動勢的表達式、安培力的表達式和閉合電路的歐姆定律，即可求得F隨時間變化的關系；
（2）繩子繃緊的瞬間，A與B組成的系統的動量守恒，寫出表達式求得共同的速度，然后根據功率的分配求出電阻R上產生的焦耳熱．

解答：解：（1）B棒運動時，其速度為：v=at
感應電動勢為：E=BLv
電路總電阻為：R總=

RRA

R+RA

+RB=

10×10

10+10

Ω+15Ω=25Ω
感應電流：I=

E

R總

金屬棒B受安培力為：F_安=BLI
對金屬棒，由牛頓定律得：F-F_安=ma
從而解得F隨t變化的關系式為：F=

1

2

(1+

t

4

)，t≤2.0s
（2）2.0s內B棒發生的位移為：x=

1

2

at2=4.0m，即撤去拉力F時繩恰好繃緊．
t=2.0s時棒的速度：v=at=2×2m/s=4m/s；
繩拉緊的過程中，由于時間短，可以看做動量守恒，得：
m_Bv=（m_A+m_B）v₁
所以：v1=

mvB

mA+mB

=

0.25×4

0.75+0.25

m/s=1m/s
設某時刻電路中的電流為I，則流過A和B的電流：IA=IB=

1

2

?I
A和B上的電功率：PA=PB=(

I

2

)2×RA=2.5I2
電阻R上的電功率：PR=I2?R=15I2
所以：P_R=6P_A=6P_B
輕繩繃緊后，兩棒以相同速度運動直至停止的過程中，棒的總動能轉化為棒和電阻上的內能．
由于各處的電流的分配關系不變，所以各處產生的內能的分配關系和電功率的分配關系是相同的，所以得：
QR+QA+QB=

1

2

mA

v

2 1

+

1

2

mB

v

2 1

；
Q_R=6Q_A=6Q_B
代入數據得：Q_R=0.375J
答：（1）拉力F隨時間t變化的關系式F=

1

2

(1+

t

4

)；
（2）輕繩繃緊后，電阻R上產生的焦耳熱為0.375J．

點評：金屬棒在運動過程中克服安培力做功，把金屬棒的動能轉化為焦耳熱，在此過程中金屬棒做加速度減小的減速運動；對棒進行受力分析、熟練應用法拉第電磁感應定律、歐姆定律、動能定理等正確解題．