Question

如圖所示，光滑絕緣的細圓管彎成半徑為R的半圓形，固定在豎直面內，管口B，C的連線水平．質量為m的帶正電小球從B點正上方的A點自由下落A，B兩點間距離為4R．從小球（小球直徑小于細圓管直徑）進人管口開始，整個空間中突然加上一個斜向左上方的勻強電場，小球所受電場力在豎直方向上的分力方向向上，大小與重力相等，結果小球從管口 C處離開圓管后，又能經過A點．設小球運動過程中電荷量沒有改變，重力加速度為g，求：
（1）小球到達B點時的速度大小；
（2）小球受到的電場力大小；
（3）小球經過管口C處時對圓管壁的壓力．

Answer 1

分析：（1）小球從A開始自由下落到到達管口B的過程中，只有重力做功，機械能守恒，可求出小球到達B點時的速度大小；
（2）將電場力分解為水平和豎直兩個方向的分力，小球從B到C的過程中，水平分力做負功，根據動能定理得到水平分力與B、C速度的關系．小球從C處離開圓管后，做類平拋運動，豎直方向做勻速運動，水平方向做勻加速運動，則兩個方向的位移，由運動學公式和牛頓第二定律結合可水平分力．豎直分力大小等于重力，再進行合成可求出電場力的大小．
（3）小球經過管口C處時，由電場力的水平分力和管子的彈力的合力提供向心力，由牛頓運動定律求解球對圓管壁的壓力．

解答：解：（1）小球從A開始自由下落到到達管口B的過程中，只有重力做功，機械能守恒，則有：
   mg?4R=

1

2

m

v

2 B

解得，vB=2

2gR

（2）設電場力的水平分力和豎直分力分別為F_x和F_y，則  F_y=mg，方向豎直向上．小球從B到C的過程中，電場力的水平分力F_x做負功，根據動能定理得
-F_x?2R=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

小球從C處離開圓管后，做類平拋運動，豎直方向做勻速運動，水平方向做勻加速運動，則：
  y=4R
  x=2R=

1

2

axt2=

Fx

2m

t2
聯立解得，F_x=mg
故電場力的大小為 F=qE=

F 2 x + F 2 y

=

2

mg
（3）小球經過管口C處時，由電場力的水平分力和管子的彈力的合力提供向心力，由牛頓運動定律得
    F_x+N=m

v 2 C

R

  得  N=3mg，方向向左
根據牛頓第三定律可知，小球經過管口C處時對圓管壁的壓力大小N′=N=3mg，方向水平向右．
答：
（1）小球到達B點時的速度大小是2

2gR

；
（2）小球受到的電場力大小

2

mg；
（3）小球經過管口C處時對圓管壁的壓力大小為3mg，方向水平向右．

點評：本題運用動能定理、牛頓第二定律和運動學公式結合研究圓周運動和類平拋運動，并采用正交分解求解電場力，常規方法，難度適中．