Question

在建筑工地上，我們常常看到工人用重錘將柱樁打入地下的情景．對此，我們可以建立這樣一個力學模型：重錘的質量為m，從距樁頂高H處自由下落，柱樁的質量為M，重錘打擊柱樁后不反彈且打擊時間極短．柱樁受到地面的阻力恒為f，空氣阻力忽略不計．利用這一模型，計算重錘一次打擊柱樁時樁進入地下的深度h．一位同學這樣解：設柱樁進入地面的深度為h，對全程運用動能定理，得：mf（H+h）+Mgh-fh=0可解得：h=…你認為該同學的解法是否正確？如果正確，請求出結果；如果不正確，請說明理由，并列式求出正確的結果．

Answer 1

分析：該同學忽略了重錘打擊柱樁后不反彈的過程有能量損失，所以解法不對；
正確解法應該是先由動量守恒求得它們的公共速度，再以整體為研究對象應用動能定理求出柱樁的位移．

解答：解：該同學解題思路不正確；因為在重錘與柱樁碰撞過程中系統機械能有損失．
    （或碰撞過程中重錘與柱樁之間的彈力做的總功不為零）
    正確解答如下：
     設重錘打擊柱樁時的速度為v₀，根據機械能守恒定律，
     有mgH=

1

2

mV02           得V₀=

2gH

    重錘打擊柱樁后不反彈成為整體設速度為v，根據動量守恒得；
     mV₀=（M+m）v
     v=

m

m+M

V0
     再以后重錘與柱樁一起向下運動至靜止，設進入地面深度為h，根據動能定理有：
          (m+M)gh-fh=0-

1

2

(m+M)v2
     聯立求解得h=

m3gH

(m+M)f-(m+M)2g

答；該同學忽略了撞擊過程中的能量損失，故不正確；
     正確求解后柱樁進入的深度h=

m3gH

(m+M)f-(m+M)2g

點評：本題的關鍵是知道碰撞過程中有能量損失，必須由動量守恒求的撞擊完后的共同速度，再由動能定理求的結論．