Question

【題目】如圖所示，在光滑的水平地面上的左端連接一光滑的半徑為R的1/4圓形固定軌道BC，并且水平面與圓形軌道相切與C點(diǎn)，在水平面內(nèi)有一質(zhì)量M=2m的小球Q連接著輕質(zhì)彈簧處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球P從B點(diǎn)正上方h=2R高處由靜止釋放，小球P和小球Q大小相同，均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g．

（1）求小球P到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)的速度大小和對(duì)軌道的壓力；

（2）求在小球P壓縮彈簧的過(guò)程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能；

（3）若小球P從B點(diǎn)上方高H處釋放第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后，立即將BC換成半徑也為R的固定的光滑3/4圓弧軌道CBD，與水平面仍相切于C點(diǎn)，求為使P球經(jīng)彈簧反彈后經(jīng)軌道CBD過(guò)程中不脫離軌道，H應(yīng)滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）7mg（2）2mgR（3）或

【解析】

（1）小球P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中有機(jī)械能守恒：

又

得.

在最低點(diǎn)C處由牛頓第二定律得：

解得：.

由牛頓第三定律小球?qū)�軌道的壓力大�?/span>，方向向下。

（2）當(dāng)P、Q兩球速度相等時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能最大，令共同速度為v，由P、Q兩球系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：.

根據(jù)機(jī)械能守恒定律：.

由以上關(guān)系得

（3）小球從P點(diǎn)上方高為H處釋放，到達(dá)水平面的速度為v0

由

彈簧被壓縮后再次回復(fù)原長(zhǎng)時(shí)設(shè)小球P和Ｑ的速度大小分別為v１和v２則根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：

由以上關(guān)系得得 .

若小球不脫離軌道有：

i.小球到達(dá)B點(diǎn)錢速度就減為0符合題意，令小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度恰好為0

即

由以上關(guān)系得：H=8R

ii.小球完成圓周運(yùn)動(dòng)符合題意，令小球到達(dá)最高點(diǎn)D的速度恰好為，且

由以上關(guān)系得：H=21.5R

所以當(dāng)或時(shí)滿足題意。