Question

如圖所示，水平地面上有一輛固定有長為L的豎直光滑絕緣管的小車，管的底部有一質量m=0.2g、電荷量q=8×10^-5C的小球，小球的直徑比管的內徑略小．在管口所在水平面MN的下方存在著垂直紙面向里、磁感應強度為B₁=15T的勻強磁場，MN面的上方還存在著豎直向上、場強E=25V/m的勻強電場和垂直紙面向外、磁感應強度B₂=5T的勻強磁場．現讓小車始終保持v=2m/s的速度勻速向右運動，以帶電小球剛經過場的邊界PQ為計時的起點，測得小球對管側壁的彈力F_N隨高度h變化的關系如圖所示．g取10m/s²，π取3.14，不計空氣阻力．求：
（1）小球剛進入磁場B₁時的加速度大小a；
（2）絕緣管的長度L；
（3）小球離開管后再次經過水平面MN時距管口的距離△x．

Answer 1

分析：（1）小球在水平方向上隨小車做勻速直線運動，剛進入磁場時，在豎直方向上對小球受力分析，受到豎直向下的重力和豎直向上的電場力以及洛倫茲力，在豎直方向上利用牛頓第二定律可求出小球的加速度．
（2）在小球剛要離開管口時，在水平方向上合力為零，在水平方向上受管側壁的彈力和洛倫茲力（此力是速度在豎直方向上的分量產生的）結合牛頓運動定律和運動學公式可求出絕緣管的長度．
（3）當小球離開管口進入復合場時，對其受力分析，受到重力、電場力和洛倫茲力，經計算可判斷重力和電場力平衡，可知小球會在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，做出小球的運動軌跡圖，利用有邊界磁場的運動規律可求出小球和管口在水平方向上的位移之差．

解答：解：（1）以小球為研究對象，豎直方向小球受重力和恒定的洛倫茲力f，故小球在管中豎直方向做勻加速直線運動，加速度設為a，則a=

f-mg

m

=

qvB1-mg

m

=2m/s2
即小球剛進入磁場B₁時的加速度大小a為2m/s²．
（2）在小球運動到管口時，F_N=2.4×10^-3N，設v₁為小球豎直分速度，由F_N=qv₁B₁，則v1=

FN

qB1

=2m/s
由

v

2 1

=2aL得L=

v 2 1

2a

=1m
即絕緣管的長度L為1m．
（3）小球離開管口進入復合場，其中qE=2×10^-3N，mg=2×10^-3N．故電場力與重力平衡，小球在復合場中做勻速圓周運動．
合速度v′=

v2+ v 2 1

=2

2

m/s，與MN成45°角，
軌道半徑為R，R=

mv′

qB2

=

2

m
小球離開管口開始計時，到再次經過
MN所通過的水平距離：S1=

2

R=2m
對應時間t=

1

4

T=

πm

2qB2

=

π

4

s
小車運動距離為S2=vt=

π

2

m
△x=x1-x2=2-

π

2

≈0.43m
答：球離開管后再次經過水平面MN時距管口的距離△x為0.43m．

點評：本題考查了帶電粒子在復合場中的運動，對復合場的理解和運動過程的分析是解決此類問題的關鍵．第一問中實際速度斜向右上方；第二位通過彈力求解出豎直分速度，然后根據運動學公式求解；第三位關鍵畫出運動軌跡．