Question

如圖所示，兩條光滑的絕緣導(dǎo)軌，導(dǎo)軌的水平部分與圓弧部分平滑連接，兩導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌的水平部分有n段相同的勻強(qiáng)磁場區(qū)域（圖中的虛線范圍），磁場方向豎直向上，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場的寬度為S，相鄰磁場區(qū)域的間距也為S，S大于L，磁場左、右兩邊界均與導(dǎo)軌垂直．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電阻為r，邊長為L的正方形金屬框，由圓弧導(dǎo)軌上某高度處靜止釋放，金屬框滑上水平導(dǎo)軌，在水平導(dǎo)軌上滑行一段時(shí)間進(jìn)入磁場區(qū)域，最終線框恰好完全通過n段磁場區(qū)域．地球表面處的重力加速度為g，感應(yīng)電流的磁場可以忽略不計(jì)，求：
（1）剛開始下滑時(shí)，金屬框重心離水平導(dǎo)軌所在平面的高度．
（2）整個(gè)過程中金屬框內(nèi)產(chǎn)生的電熱．
（3）金屬框完全進(jìn)入第k（k＜n）段磁場區(qū)域前的時(shí)刻，金屬框中的電功率．

Answer 1

（1）設(shè)金屬框在進(jìn)入第一段勻強(qiáng)磁場區(qū)域前的速度為v₀，金屬框在進(jìn)入和穿出第一段勻強(qiáng)磁場區(qū)域的過程中，線框中產(chǎn)生平均感應(yīng)電動(dòng)勢為
  

.

E

=

2BL2

t

平均電流強(qiáng)度為（不考慮電流方向變化）

.

I

=

. E

r

=

2BL2

rt

由動(dòng)量定理得：
   -B

.

I

Lt=mv1-mv0
   -B

2BL2

rt

Lt=mv1-mv0
   -

2B2L3

r

=mv1-mv0
同理可得：-

2B2L3

r

=mv2-mv1
       -

2B2L3

r

=mv3-mv2
…
整個(gè)過程累計(jì)得：-n

2B2L3

r

=0-mv0
解得：v0=

2nB2L3

mr

金屬框沿斜面下滑機(jī)械能守恒：mgh=

1

2

m

v

20

解得  h=

v 20

2g

=

2n2B4L6

m2gr2

（2）金屬框中產(chǎn)生的熱量Q=mgh，
解得  Q=

2n2B4L6

mr2

（3）金屬框穿過第（k-1）個(gè)磁場區(qū)域后，由動(dòng)量定理得：-(k-1)

2B2L3

r

=mvk-1-mv0
金屬框完全進(jìn)入第k個(gè)磁場區(qū)域的過程中，由動(dòng)量定理得：-

B2L3

r

=mv_k′-mv_k-1
解得：v_k′=

(2n-2k+1)B2L3

mr

金屬框中的電功率：P=

(BL v /k )2

r

=

(2n-2k+1)2B6L8

m2r3

答：
（1）剛開始下滑時(shí)，金屬框重心離水平導(dǎo)軌所在平面的高度是

2n2B4L6

mr2

．
（2）整個(gè)過程中金屬框內(nèi)產(chǎn)生的電熱是

2n2B4L6

mr2

．
（3）金屬框完全進(jìn)入第k（k＜n）段磁場區(qū)域前的時(shí)刻，金屬框中的電功率是

(2n-2k+1)2B6L8

m2r3

．