Question

（2007?海門市模擬）我國探月工程計劃在2015年以前通過無人駕駛的軌道飛行器，在月球上進行采樣工作，以此方式執行最初的登月計劃，并最終實現中國人登上月球．假設2017年7月7日，我國宇航員乘“嫦娥五號”飛船到月球上考察．宇航員完成了對月球表面的科學考察任務后，乘坐返回艙返回圍繞月球做圓周運動的軌道艙，如圖所示，為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．已知返回艙與人的總質量為m，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，軌道艙到月球中心的距離為r，不計月球自轉的影響．
（1）返回艙至少需要多大速度才能繞月飛行，不再落回月面？
（2）衛星繞月過程中具有的機械能由引力勢能和動能組成．已知當它們相距無窮遠時引力勢能為零，它們距離為r時，引力勢能為E_P=-GMm/r．則該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量才能返回軌道艙？

Answer 1

分析：（1）當返回艙受到月球的萬有引力恰好提供其向心力時，它將繞月飛行，不再落回月面，根據萬有引力等于向心力，及萬有引力等于重力列式求解；
（2）根據萬有引力等于向心力，求出軌道艙的速度v，得到宇航員乘坐返回艙與軌道艙進行對接時具有的動能為E_K=

1

2

mv²，根據題中條件引力勢能為E_P=-G

Mm

r

，返回艙返回過程中克服引力做的功，再根據能量守恒求解．

解答：解：（1）月球對返回艙的引力F應是其運動所受的向心力．則有
   G

Mm

R2

=m

v2

R

 ①
在月球表面上，返回艙和人所受到的萬有引力近似等于重力，則．
 G

Mm

R2

=mg₀．②
可得v=

g0R

故返回艙至少需要

g0R

的速度才能繞月飛行，不再落回月面．
（2）設軌道艙的質量為m₀，速度大小為v，則
 G

Mm0

r2

=m₀

v2

r

，得v=

GM r

則宇航員乘坐返回艙與軌道艙進行對接時，具有的動能為：
E_K=

1

2

mv²=G

Mm

2r

因此返回艙返回過程中克服引力做的功為
W=-G

Mm

r

-（-G

Mm

R

）=G

Mm

R

-G

Mm

r

由能量守恒可知返回艙返回時至少需要能量
E=E_K+W=G

Mm

2r

+G

Mm

R

-G

Mm

r

=G

Mm

R

-G

Mm

2r

=mg₀R（1-

R

2r

）
答：
（1）返回艙至少需要有

g0R

的速度才能繞月飛行，不再落回月面．
（2）該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得mg₀R（1-

R

2r

）能量才能返回軌道艙．

點評：本題是衛星類型的問題，在忽略星球自轉的影響，要能根據萬有引力等于重力列出等式．通過建立模型，理清解題思路，根據萬有引力等于向心力建立方程．