Question

如圖所示，斜面的傾角θ=37°，斜面的底端有一個(gè)光滑的半圓形軌道與斜面底端B點(diǎn)相接．質(zhì)量為m=50kg的物體，從斜面的頂點(diǎn)A處以v₀=20m/s沿水平方向飛出，剛好落在斜面底端B處，其豎直速度立即變?yōu)榱悖�然后進(jìn)入半圓形軌道恰好能通過最高點(diǎn)C．（cos37°=0.8，sin37°=0.6，g取10m/s²，不計(jì)空氣阻力）求：
（1）半圓軌道的半徑R；
（2）物體從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間t；
（3）如圖，圓弧上點(diǎn)D與圓心連線與水平面平行，求小球過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)，得出最高點(diǎn)的速度，根據(jù)B點(diǎn)到最高點(diǎn)過程機(jī)械能守恒，求出半圓軌道的半徑R．
（2）平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直位移和水平位移之比得出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒求出到達(dá)D點(diǎn)的速度，通過徑向的合力提供向心力求出小球過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小．

解答：解：（1）設(shè)半圓形軌道的半徑為R，因?yàn)槲矬w恰好到達(dá)最高點(diǎn)，所以只有重力提供向心力．
設(shè)最高點(diǎn)的速度為v，則有：mg=m

v2

R

．
從B點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，機(jī)械能守恒，則有：

1

2

mv∥2=

1

2

mv2+2mgR．
根據(jù)題意有：v_∥=v₀．
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立解得：R=8m．
（2）從A到B的過程，做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上有：x=v₀t，豎直方向上有：y=

1

2

gt2．
因?yàn)?span id="57nnjnf" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

y

x

=tan37°
解得：t=

2v0tan37°

g

=3s．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mv∥2=

1

2

mvD2+mgR(1-sinθ)
代入數(shù)據(jù)，解得：v_D=4

21

m/s．
根據(jù)牛頓第二定律得：N-mgsin37°=m

vD2

R

代入數(shù)據(jù)解得：N=2400N．
根據(jù)牛頓第三定律知，小球在D點(diǎn)對(duì)軌道壓力大小為2400N．
答：（1）半圓軌道的半徑R為8m；
（2）物體從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間t為3s；
（3）小球過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為2400N．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，涉及到牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律的運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源和平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．