Question

【題目】游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來，如圖甲所示，我國把這種情形抽象為如圖乙所示的模型：弧形軌道的下端N與豎直圓軌道平滑相接，P為圓軌道的最高點，使小球（0可視為質點）從弧形軌道上端滾下，小球進入圓軌道下端后沿圓軌道運動。不考慮小球運動所受的摩擦力等阻力。

（1）小球沿弧形軌道運動的過程中，經過某一位置A時動能為，重力勢能為，經過另一位置B時動能為，重力勢能為，請根據動能定理和重力做功的特點，證明：小球由A運動到B的過程中，總的機械能保持不變，即；

（2）已知圓形軌道的半徑為R，將一質量為m1的小球，從弧形軌道距地面高h=2.5R處由靜止釋放。

a請通過分析、計算，說明小球能否通過圓軌道的最高點P；

b如果在弧形軌道的下端N處靜置另一個質量為m2的小球。仍將質量為m1的小球，從弧形軌道距地面高h=2.5R處靜止釋放，兩小球將發生彈性正撞。若要使被碰小球碰后能通過圓軌道的最高點P，那么被碰小球的質量m2需要滿足什么條件？請通過分析、計算、說明你的理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）a、能過最高點；b、當滿足時，小球被碰后能通過圓軌道的最高點P

【解析】

（1）根據動能定理，根據重力做功的特點可知

聯立解得，整理可得

（2）a、假設小球剛好能過最高點，在最高點時小球只受重力作用，此時重力提供向心力

解得小球能過最高點的最小速度為

小球從M到P，設小球運動到最高點P時的速度為vp

根據機械能守恒定律

解得，即小球剛好能過最高點；

b、以小球為研究對象，設小球運動到N點時的速度為，

從M到N，根據機械能守恒定律，以兩個小球為研究對象，碰后兩小球的速度分別為

根據動量守恒定律

根據能量守恒定律

聯立即得小球碰后的速度

因為小球從h=2.5R處滾下時恰好能過最高點，所以只要在N點被碰后的速度，就能過最高點，從上式中分析可以得到，當時，可得，所以當滿足時，小球被碰后能通過圓軌道的最高點P。