Question

（2013?浙江模擬）如圖甲所示，兩平行金屬板間接有如圖乙所示的隨時間t變化的交流電壓U，且當U大于零時，上極板電勢比下極板高．金屬板板長L=0.2m，板間距離d=O.2m．在金屬板右側，緊挨著金屬板邊緣有一個足夠長的勻強磁場區(qū)域，其邊界為直線MN和PQ，MN、PQ均與兩板中線OO′垂直，磁感應強度B=1.25×10^-2T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場中，已知每個粒子的速度大小為v₀=10⁵m/s，比荷

q

m

=10⁸C/kg，重力忽略不計．在每個粒子通過電場區(qū)域的極短時間內，電場可視為恒定不變，不考慮因電場變化對帶電粒子運動產生的影響，不考慮電荷間的相互影響．求：
（1）能夠進入磁場區(qū)域的粒子的最大動能與最小動能的比值；
（2）要讓穿過MN進入磁場的粒子都能從磁場中返回到MN，磁場區(qū)域的最小寬度；
（3）U滿足什么條件，穿過MN進入磁場的粒子能重新返回進入電場？

Answer 1

分析：1、帶電粒子經過電場做類平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，故在電場中運動的時間為t=

L

v0

，在豎直方向上做初速度為零的勻加速運動，位移為y=

Uq

2dm

t2，
當偏轉位移最大y=

d

2

時，偏轉電壓最大U=

d2mv02

qL2

=100V，故最大動能為Ekmax=

1

2

mv02+

qU

2

，當偏轉電壓為零時，電場力不做功，則最小動能為Ekmin=

1

2

mv02，代入數據計算出最大動能和最小動能，然后相比即可．
2、帶電粒子進入磁場后做勻速圓周運動，速度越大運動軌跡的半徑越大，要求的磁場寬度越寬，根據上一小題的結論可知進入磁場的最大速度的值，根據洛倫茲力提供向心力qvtB=

mvt2

R

 可以解得軌跡半徑R，根據幾何關系最小寬X=R+Rsin45°，代入數據化簡即可．
3、粒子進入磁場時，速度方向與水平方向成θ角，速度大小為v_t，它進磁場與出磁場之間的距離為l，根據幾何關系l=2Rcosθ=

2mvtcosθ

qB

=2

mv0

qB

，所有粒子的距離l是一常數，與偏轉電壓（θ角）無關，當粒子水平方向進入磁場時，l＞

d

2

．故在小于0V的電壓范圍內粒子不能都返回電場．根據幾何關系y臨界=l-

d

2

=0.06m，又勻加速運動的位移公式y臨界=

U′q

2dm

t2，代入數據計算出最小電壓U′，從而得知電壓的取值范圍．

解答：解：（1）帶電粒子經過電場做類平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，故在電場中運動的時間為t=

L

v0

=2×10-6s
在豎直方向上運動的位移為y=

Uq

2dm

t2 
當偏轉位移最大y=

d

2

時，偏轉電壓最大U=

d2mv02

qL2

=100V
故最大動能為Ekmax=

1

2

mv02+

qU

2

=

1

2

m(1010+108×100)=1010m（J）
當偏轉電壓為零時，電場力不做功，則最小動能為Ekmin=

1

2

mv02=

1

2

×1010m（J）
所以

Ekmax

Ekmin

=

2

1

（2）帶電粒子進入磁場后做勻速圓周運動，速度越大運動軌跡的半徑越大，要求的磁場寬度越寬，寬度最寬的粒子的運動軌跡如右圖所示根據上一小題的結論可知進入磁場的最大速度vt=

2

v0  
根據洛倫茲力提供向心力qvtB=

mvt2

R

   
解得R=

mvt

qB

=

2 mv0

qB

代入數據得R=0.08

2

m  
最小寬X=R+Rsin45°
解得X=(0.08+0.08

2

)m  
（3）設某粒子進入磁場時，速度方向與水平方向成θ角，速度大小為v_t，它進磁場與出磁場之間的距離為l，如圖，根據幾何關系可得：
l=2Rcosθ=

2mvtcosθ

qB

=2

mv0

qB

代入數據可得，l=0.16m   
即所有粒子的距離l是一常數，與偏轉電壓（θ角）無關
當粒子水平方向進入磁場時，l＞

d

2

故在小于0V的電壓范圍內粒子不能都返回電場，只有向下偏轉的部分粒子才能返回電場，
y臨界=l-

d

2

=0.06m    
又因為y臨界=

U′q

2dm

t2
解得U′=60V    
故范圍為60V＜U≤100V．
答：（1）能夠進入磁場區(qū)域的粒子的最大動能與最小動能的比值為2．
（2）要讓穿過MN進入磁場的粒子都能從磁場中返回到MN，磁場區(qū)域的最小寬度為(0.08+0.08

2

)m．
（3）交流電壓在范圍為60V＜U≤100V，穿過MN進入磁場的粒子能重新返回進入電場．

點評：本題關鍵是畫出粒子進入磁場后的各種可能的運動軌跡，根據洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑，然后求出磁偏轉的距離表達式，從而得到偏轉電壓的范圍．