Question

如圖所示，粗糙水平軌道AB與豎直平面內的光滑半圓軌道BC在B處平滑連接，B、C分別為半圓軌道的最低點和最高點．一個質量m=0.1kg的小物體P被一根細線拴住放在水平軌道上，細線的左端固定在豎直墻壁上．在墻壁和P之間夾一根被壓縮的輕彈簧，此時P到B點的距離X₀=0.5m．物體P與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.2，半圓軌道半徑R=0.4m．現將細線剪斷，P被彈簧向右彈出后滑上半圓軌道，并恰好能經過C點．g取10m/s²．
求
（1）P經過B點時對軌道的壓力；
（2）細線未剪斷時彈簧的彈性勢能．

Answer 1

（1）P恰好能經過C點，設其速度為v_c，
由向心力公式有mg=

mv 2C

R

                                    
解得v_c=

gR

=2m/s
 P從B到C的過程中機械能守恒，設P經過B點時的速度為v_B，則有
mg?2R+

1

2

mv

2c

=

1

2

mv

2B

                                     
解得v_B=

4gR +v 2c

=2

5

m/s                 
設小球剛過B時受到圓軌道的支持力為N_B，由向心力公式有
N_B-mg=

mv 2B

R

                                            
解得  N_B=mg+

mv 2B

R

=6N             
由牛頓第三定律可得，
物體剛過B點時對軌道的壓力大小為6N，方向豎直向下．      
（2）設細線剪斷前彈簧的彈性勢能為E_P．從剪斷細線到P經過B點的過程中，由能量守恒可得
E_p-μmgx₀=

1

2

mv

2B

                                         
解得E_p=μmgx₀+

1

2

mv

2B

=1.1J
答：（1）P經過B點時對軌道的壓力是6N，方向豎直向下；
（2）細線未剪斷時彈簧的彈性勢能是1.1J．