Question

如圖（甲）所示，兩光滑導軌都由水平、傾斜兩部分圓滑對接而成，相互平行放置，兩導軌相距L＝lm ，傾斜導軌與水平面成θ＝30°角，傾斜導軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強磁場區I中，I區中磁場的磁感應強度B₁隨時間變化的規律如圖（乙）所示，圖中t₁、t₂未知。水平導軌足夠長，其左端接有理想的靈敏電流計G和定值電阻R＝3Ω，水平導軌處在一豎直向上的勻強磁場區Ⅱ中，Ⅱ區中的磁場恒定不變，磁感應強度大小為B₂＝1T ，在t＝0時刻，從斜軌上磁場I 區外某處垂直于導軌水平釋放一金屬棒ab，棒的質量m＝0.1kg ，電阻r＝2Ω，棒下滑時與導軌保持良好接觸，棒由斜軌滑向水平軌時無機械能損失，導軌的電阻不計。若棒在斜面上向下滑動的整個過程中，靈敏電流計G的示數大小保持不變，t₂時刻進入水平軌道，立刻對棒施一平行于框架平面沿水平方向且與桿垂直的外力。（g取10m/s²）求：

（1）磁場區I在沿斜軌方向上的寬度d；

（2）棒從開始運動到剛好進入水平軌道這段時間內ab棒上產生的熱量；

（3）若棒在t₂時刻進入水平導軌后，電流計G的電流大小I隨時間t變化的關系如圖（丙）所示（I₀未知），已知t₂到t₃的時間為0.5s，t₃到t₄的時間為1s，請在圖（丁）中作出t₂到t₄時間內外力大小F隨時間t變化的函數圖像。

Answer 1

（1）電流表的示數不變，說明在整個下滑過程中回路的的電動勢是不變的，說明在B變化時和不變時感應電動勢大小一樣，所以可以判斷在t₁時刻棒剛好進入磁場區域且做勻速直線運動。

mgsin-BIL=0，　 ， 　E₁=BLV,　 代入數值得v=2.5m/s

沒進入磁場以前做勻加速直線運動，加速度是 a=gsin30⁰=5m/s², v=at, t₁=0.5s ,下滑的距離是s₁=at₂=0.625m，再沒進入磁場以前，由于B均勻變化，所以E₂=，　　　　 又E₁=BLV　 E₁= E₂ ， 41d=112.5，　 d=0.625m

（2）ab棒進入磁場以前，棒上產生的熱量為 　Q₁=I²rt₁=0.5²×2×0.5J=0.25J

取ab棒在斜軌磁場中運動為研究過程，　 mgd sin-Q₂=0　　 Q₂=0.3125J.

此時，棒上產生的熱量是Q_2r==0.125J　　　　　　　　　　 　

則棒上產生的總熱量是Qr= Q₁+Q_2r=0.375 J

或：Q_r=I²R（t₁+t₂）=0.5²×2×(0.5+0.25)J=0.375J

（3）因為E=BLv，所以剛進水平軌道時時的電動勢是E=2.5V,　 I₀==0.5A

取t₂時刻為零時刻，則根據圖線可以寫出I-t的方程式：I=0.5-tˊ，I=,

則v=2.5-5 tˊ，所以a₁=5m/s².有牛頓第二定律可得：F+BIL=ma₁， F=tˊ

畫在坐標系里。

由丙圖可以同理得出棒運動的加速度大小是a₂=2.5m/s²,依據牛頓定律得F-BIL=ma₂

取t₃時刻為零時刻，可以寫出t₃時刻后的I與時間的關系式，I=0.5 t ，代入上面的式子可以得到F=0.25+0.5t畫在坐標系里。(圖中圖線作為參考)